Category Archives: 理論物理入門 （theoretical physics introduction to layman）

[悼事頭婆] 再談量子糾纏，貝爾嘅女王比喻

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（RIP事頭婆。「圖文不符」，好似係）

量子力學（Quantum mechanics），哩個上世紀發現嘅現代物理學根基，雖然已經過咗咁多年，但依然係最常被人誤解，或被「有心人」利用嘅物理範疇（好似Marvel一堆超級英雄科幻片，好似蟻俠、奇異博士等等，亂咁詮釋咁），好似任何天馬行空、荒謬嘅嘢，只要加個「量子」係前面，就會變得可信同有可能咁。

而量子力學範疇當中，量子糾纏（quantum entanglement）可以話係最多人誤解，小弟之前都出過篇拙文講解過吓[1]。咁啱最近上個月傳奇嘅英女王去世（RIP……😢 ），令小弟諗返起量子力學大師貝爾（John Bell），佢解釋量子糾纏用過嘅比喻。

王室王位繼承嘅量子糾纏比喻

圖左：事頭婆過世前嘅最後公開照片；右下：王室成員喺佢去世當日趕去見最後一面
（From LBC，Picture: Alamy）

量子糾纏，雖然畀愛因斯坦誤解戲稱做「遠距離嘅鬼魅效應」（spooky acton at a distance），認為/擔心哩個量子力學現象會「破壞」佢嘅相對論，違反宇宙因果關係嘅光速限制，但其實哩個現象，當中根本唔涉及因果關係，唔存在乜嘢一方嘅作用力，遙距瞬間影響另一方。

事實上，即使係宏觀物理世界，一樣存在住好似量子糾纏現象，咁嘅超光速瞬間效應，例如啱啱不幸，終於發生咗王位繼承事件。

（網上圖片，擷取自貝爾著作《Speakable and unspeakable in quantum mechanics》）

點解係超光速？因為當事頭婆一去世嘅一刻，根據王位繼承順序，排頭嘅查理斯王儲就會即刻繼承咗個王位。哩度講𡁵係「即刻」，係真係即刻，唔需要經乜嘢等埋繼任儀式、甚至收到女王去世消息等，先至繼承到個王位。只要佢係排係繼承首位，根據王室規矩、英國同英聯邦王國法律，咁佢就會瞬間自動繼承王位。哩個只係邏輯同規矩下嘅結果，當中冇涉及過所謂「因果關係」，即係唔存在事頭婆去世產生出「神秘」嘅作用力/「能量」，傳遞到查理斯，導致佢變成王。

或者你會質疑，如果事頭婆去世消失被封鎖，查理斯冇人承認，咁仲可以算「繼承」咩，個「王位」仲有意義？事實上，咁諗又冇錯，因為量子糾纏其實一樣可以係「冇意義」。正如量子資訊（quantum information）同量子通信（quantum communication），量子糾纏如果冇另外一條訊息傳遞渠道（受光速限制），都係「冇任何意義」。結果只會係同冇量子糾纏嘅普通量子情況一樣，係完全隨機，而你亦唔會分辨到有任何分別，即用唔到佢做任何「有意義」嘅操作。

總結：

量子糾纏哩種「超光速」效應，個現象過程係冇涉及過任何訊息傳遞，而且其實現實宏觀世界一樣有，就好似王位繼承咁。正如統計學嘅名句，相關不蘊涵因果（Correlation does not imply causation），就算有邏輯關係，亦唔等於必然存在因果先後關係。

最後請容許小弟送上Joanne Boyle為事頭婆寫嘅一首詩，緬懷一下哩位可能係英國王室最後一代嘅女王，希望佢終於能夠好好休息，同菲臘親王重聚

延伸閱讀：

[1] 《[所有嘢都係量子系列] 超遠距離嘅鬼魅效應？愛因斯坦都有錯嘅時候…》

[所有嘢都係量子系列] 超遠距離嘅鬼魅效應？愛因斯坦都有錯嘅時候…(Spooky Action at a Distance? Einstein can also be Wrong Sometimes…)

[2] 《Quantum Entanglement: Spooky Action at a Distance》by Fermilab

[3] 《Quantum Entanglement and the Great Bohr-Einstein Debate》by PBS Space Time

「”母語”書面語」link

[“邪惡”嘅物理學] 點解唔打掃間房就咁亂？一切都係熵嘅錯?! 

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（圖擷取自：《魔法少女小圓》動畫）

「無聊」開場白問題：「如果冇人打掃嘅話，經過時間嘅洗禮，間房/屋只會愈嚟愈污糟，愈嚟愈亂。點解會咁嘅呢？」

因為你懶，唔執屋清潔囉，咁都要問！……嗯，啱嘅，不過你有冇諗過，點解自然世界嘅演化，係會傾向愈嚟愈「亂」，而唔係掉番轉，變得愈嚟愈整齊、有秩序呢？其實歸根究底，哩啲全部都係「物理學嘅錯」，因為現實物理世界有熵（entropy）哩樣作怪#（笑）。

#一樣連魔法少女都搞唔掂嘅嘢，好似係。PS:《魔法少女小圓》係一套好有深度嘅「神作」動畫嚟

熵係乜嚟？（What is entropy?）

(credits: HMP Comics)

要了解點解熵咁「邪惡」，我哋要首先明白乜嘢係熵。「溫馨提示」：以下內容不適合未成年人仕閱讀，好似係（見上圖，笑）

熵，簡單概括講嘅話，係形容一個物理系統，佢包含嘅「資訊量」嘅一個參數，同著名物理學家波士文（Ludwig Boltzmann）開創嘅統計力學（statistical mechanics）有關。根據統計力學，宏觀世界嘅物質係由龐大數量嘅微觀粒子構成。我哋喺宏觀世界，大尺度下觀察、測量到嘅物理量、物理規律，只係表象，背後其實係將大量微觀粒子各自嘅運動或狀態，總合起嚟取平均或期望值，而得出嚟嘅表述。好似根據分子運動論（kinetic theory of gases），氣體嘅溫度，其實就係組成氣體堆微觀粒子，佢哋平均動能嘅描述。

而一個（宏觀）物理系統嘅熵值，就係同微觀狀態（microstates）數量，同啲微觀狀態嘅機率有關*。哩度微觀狀態，係指微觀粒子嘅位置、動量、位能等；而數量就係指喺同一宏觀狀態（macrostates），好似相同系統能量、體積、壓力下，有幾多相對應嘅微觀狀態組合可能性。

*哩度講嘅係熵嘅統計力學定義。而熵嘅各種經典熱力學（classical thermodynamics）定義，雖然睇落唔同，但其實一樣可以由統計力學定義出發，根據各種系統情況，用對應嘅微觀狀態概率密度函數推導出嚟。

熵＝混亂程度？常見嘅坊間誤解（Entropy = disorder? The common misconception of entropy）

（網上圖片，來源：https://www.techiearistotle.com/2021/04/entropy-is-not-disorder.html）

一般坊間科普，甚至係某啲教材，好多時都會將熵同混亂程度，直接劃上等號。好似一個系統愈混亂，佢嘅熵值就愈高。不過哩個簡單嘅詮釋又啱唔啱呢？

事實上，哩個詮釋其實係錯㗎！正確嚟講，熵真正描述同量化嘅，係我哋表述一個（宏觀）物理系統時，忽略咗嘅微觀世界資訊量，而唔係混亂程度。而且混亂、秩序，本身就係一個好主觀概念嚟，係唔可以客觀量化嘅。就好似和理非遊行示威，有人會覺得有秩序，但某啲人同某強國就覺得係「混亂邪惡」咁。又好似一杯水同一堆碎冰，一般人都會認為一堆碎冰比較混亂。不過事實上，碎冰嘅熵值係比較細先啱。

熵＝忽略咗嘅微觀世界資訊量（entropy is a measure of ignored information）

（credits: smbc）

想真正明白熵係乜，同點解有人會將佢同「混亂、秩序」扯上關係，我哋可以用以下嘅比喻：

試諗吓擲N粒骰仔，或喺圍棋棋盤上，隨機擺N粒棋子嘅情況。而家忽略擲骰仔/擺棋子嘅過程，假設啲骰仔/棋子係全部一模一樣，只係睇最後骰仔數字組合（唔理次序），或棋子整體分佈形狀。「整齊」、有規律嘅棋子排列分佈或數字組合，比起隨機、冇規律嘅組合/排列，可能性數量相對係少好多。好似全部數字一樣嘅組合，例如111111咁，我哋可以確定每粒骰仔對應嘅數字必然係1，只有一種可能性；相反冇規律嘅組合，好似134265咁，每粒骰仔對應嘅就會係1-6任何一個數字，可能性係6!=720種。

如果啲骰仔係公平，每個數字擲到嘅機率一樣，或每個棋子位置擺放機率一樣，咁每個可能性嘅資訊量亦會係一樣。再比較番有規律同冇規律嘅整體組合/排列，如果只睇整體組合/排列，我哋可以睇到結果係冇規律時，忽略嘅資訊量係最大，亦即熵值最大。哩個就係點解坊間好多解釋，會錯誤直接將熵簡化理解成混亂程度。

有興趣想了解更多嘅，可以睇下面ZAP Physics《Entropy is NOT About Disorder》嘅英文短片：

「邪惡」嘅熱力學第二定律（The second law of thermodynamics）

(credits: xkcd #2315)

熵哩個詞，之所以為人「熟識」嘅原因，相信就係熱力學第二定律（the second law of thermodynamics）。哩條定律表述嘅係熱力學過程嘅不可逆性。一個封閉嘅孤立系统，必定無何避免，會自發咁向住熱力學平衡（thermal equilibrium）方向演化，即熵值必然隨時間增加，直至去到最大值為止。熱力學第二定律，係物理學少數有時間方向性嘅定律，所以有人會將熵值同時間掛勾，就好似上年科幻電影《天能》嘅「逆熵」設定出現咁。

熱力學第二定律背後嘅原理，係可以從統計力學，由機率去理解。熵值不斷增大嘅真正含意，喺自然界會自發咁向住分布可能性，即機率更大嘅方向發展。用番上一節骰仔數字組合/棋子分佈嘅比喻，熵值愈大嘅宏觀整體結果，佢嘅骰仔組合/棋子排列可能性就愈多，出現嘅機率就愈大；相反熵值愈細，出現嘅機率就愈少。如果假設個系統，係會不斷隨機試勻所有可能性組合，咁好自然熵值最大嘅結果係最有可能出現。

喺自然界，絕大部分情況下，「混亂、冇序」嘅微觀物理態組合，熵值通常愈大。所以坊間先會出現熱力學第二定律，等同自然世界演化偏向混亂、冇序，宇宙必然趨向「混亂邪惡」嘅誤解。事實上，即使係封閉嘅孤立系统，喺某啲特殊情況或物理條件下，有序嘅微觀物理態組合，佢嘅熵值係可以更大；系統嘅演化係可以由冇序 -> 有序。試諗吓如果用唔公平，擲到1比起其他數字，機率高很多嘅骰仔，番到之前骰子數字組合嘅比喻時，得出嘅結論會點？詳細嘅「違反秩序」例子，可以睇以下Sixty Symbols嘅短片（英文）

總結：熵＝/＝混亂程度

雖然小弟拙文開頭，話世界愈嚟愈亂，係「物理學同熵嘅錯」，不過哩個講法嚴格上係錯㗎，唔好再將你間房/屋亂，賴落物理學度啦！今次講到哩度，最後送首《魔法少女小圓》主題曲嘅二次創作粵語版作結，下次有機會再講。

後記/補充說明：

（一）物理學嘅熵，同資訊/電腦科學嘅資訊熵，又叫夏農熵（Shannon entropy），係息息相關。前者可以理解為後者嘅應用例子。

（二）熵公式定義為

 kB：波士文常數

pi：微觀物理態i，佢對應嘅機率

延伸閱讀：

[1] 《The Misunderstood Nature of Entropy》by PBS Space Time （英文字幕）

[2] 《Second Law of Thermodynamics 》by Sixty Symbols （英文字幕）

[3]《時間可以倒流嗎？甚麼是熵增定律？電影《天能》中的科學假設》by 媽咪說（蝗語慎入）

[4] 《柴知道》科普：甚麼是热力学第二定律？by 《柴知道》（蝗語慎入）

[5] 《觀賞”天能”所需要了解的物理學概念”熵”》by mouchou2

觀賞”天能”所需要了解的物理學概念”熵”

[6]《Is ENTROPY Really a “Measure of Disorder”? Physics of Entropy EXPLAINED and MADE EASY》by Parth G （英文）

中文「書面語」版：
https://medium.com/@godfrey.leung.cosmo/%E9%82%AA%E6%83%A1-%E7%9A%84%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%B8-%E6%88%BF%E9%96%93%E4%B8%8D%E6%89%93%E6%8E%83%E6%84%88%E4%BE%86%E6%84%88%E4%BA%82-%E4%B8%80%E5%88%87%E7%9C%9F%E7%9A%84%E9%83%BD%E6%98%AF%E7%86%B5%E7%9A%84%E9%8C%AF%E5%97%8E-69802f5a375c

[“old news” is so exciting] 淺談最近同muon有關嘅粒子物理學新「發現(s)」 （Recent muon-related particle physics “discoveries” explained）

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(credits: Chris Madden)

好耐冇出文啦，唔知哩期最受大家關注嘅新聞係乜呢？台灣嘅「鮭魚之亂」？單春表態撐新疆棉？長賜號擱淺？叫人白票＝犯法？定英國事頭婆老公菲臘親王逝世？除咗嗰堆之外，大家又有冇留意科學方面嘅新聞呢？喺近一個月，理論/粒子物理學又再次成為咗科學新聞嘅頭條啦！而當中嘅主角，就係muon（渺子）啦！唔知大家對相關嘅新聞又知幾多呢？今次等小弟為大家做個「（非？）專業」講解啦！

PS：個人覺得粒子物理學入面，好多粒子嘅（坊間）中文譯名太膠，所以小弟會用番英文。

muon係乜嚟？（What is a muon?）

(credits: Jorge Cham [4]) 

開始之前，我哋首先需要認識一下muon係乜嚟。muon係一種fermion（費米子），係lepton（輕子）嘅一種，同一般我哋認識嘅電子非常相似。佢幾乎大部份嘅物理特性，包括電荷、自旋（spin），都同電子一樣，同樣有相對應嘅反粒子（叫anti-muon），分別只係質量重好多，本身唔穩定，會通過弱作用力，衰變成電子而已。狹義相對論（special relativity）嘅時間膨脹（time dilation）現象，早期其中一個實驗觀察證據，就係同觀察muon衰變有關。簡單嚟講，你可以將muon睇成係「電子」嘅「肥版表兄妹」。而亦因為muon夠「肥」，所以理論上佢更容易受未知嘅物理影響，更容易同質量極重嘅未知粒子發生（間接）相互作用（記得E＝mc2嗎？）。

由於muon帶有量子自旋嘅物理特性（註：同電荷一樣，係固有量子特性嚟，唔係真係指粒粒子「自轉」𡁵），佢自己帶固有嘅角動量。而因為muon同時間帶有電荷，所以同經典電磁學嘅電流磁效應情況類似，muon會隨之而自帶磁性/有自己嘅磁場，哩個就係muon嘅磁矩（magnetic moment）。而今次嗰單最多人講，同muon有關嘅新聞，就係同測量muon嘅磁矩有關。

LHCb最近同muon有關嘅初步「發現」（Recent “discovery” at LHCb）

The LHCb experiment at CERN (Image: CERN)

好啦，簡單介紹完muon後，係時間入正題。不過講之前，「戴番個頭盔」先，跟住落嚟講嘅哩兩單新聞，嚴格上未可以叫「發現」，仲未達理論/粒子物理學真．發現所需嘅標準。

首先，最近第一單同muon有關嘅粒子物理學「新發現」，係上月底由位處CERN嘅大型強子對撞機（Large Hadron Collider, LHC），入面其中一個實驗LHCb公佈。 個實驗係測量由超重夸克，bottom quarks（又叫”beauty” quarks）組成嘅b-meson^嘅超罕有衰變過程。

^中文叫介子（「戒指」sosad）

實驗團隊發現有初步「證據」顯示，衰變成正負電子對嘅比例，高於衰變正負muons對[1]。哩個「發現」違反咗標準模型（Standard Model）嘅lepton flavour universality，即撇除質量外，所有Standard Model唔同flavour嘅帶電荷lepton特性同gauge boson coupling$應該一樣先啱。

$ 哩度唔計希格斯場（Higgs field）嘅Yukawa coupling，而哩個Yukawa coupling亦即係lepton嘅質量嚟。因為Higgs boson唔係gauge boson嚟，所以一般嚟講，粒子/理論物理學係唔會當Higgs field相互作用為「第5種基本力」，尤其基本粒子同Higgs field嘅相互作用，背後原理係同自發性對稱破缺（spontaneous symmetry breaking ）有關嘅希格斯機制。喺高能量時，電磁力同弱作用力會結合番做同一種力，即電弱相互作用，electroweak gauge symmetry會回復返，Higgs field嘅真空數值，同其相關嘅coupling會全部變0，即相互作用同粒子質量變0。

Fermi Lab muon g-2實驗結果公佈 （Recent results of the Fermi Lab g-2 experiments）

(credits: Jorge Cham [4] )

另一單新聞就係好多人講，上星期由美國費米國家加速器實驗室（Fermi National Acceleration Laboratory），公佈嘅muon g-2實驗結果。

之前提到muon自己帶有磁性，即磁矩。如果將muon放喺一個外磁場入面，佢嘅磁矩會同外磁場有相互作用，繼而衍生出微小嘅擾動，情況就好似轉陀螺咁。Fermi Lab實驗做嘅，就係透過精確測量哩啲微小擾動，去計算muon嘅固有磁性。準確啲講，係測量相關嘅g-factor，即磁矩嘅相關dimensionless數值，而且係測到小數點後好多個位。

點解要測到咁精確？因為哩啲小數點後好多個位嘅細微數值修正，其實係源自背後粒子理論模型嘅量子修正（quantum corrections）。而哩啲量子修正，相對應嘅物理過程，係可以涉及一堆罕有同超高能量嘅粒子，甚至過程間（註：指測量時，initial同final state中間嘅直接觀察唔到嘅過程。有興趣嘅，可以去睇吓乜嘢係量子場論QFT同loop Feynman diagrams）「違反」一堆守恆定律，包括粒子數同能量守恆。

量子場論世界下嘅「真空」
(Creator:Chandra X-ray Observatory Center
Credit:NASA/CXC/FIT/E.Perlman et al, Illustration: NASA/CXC/M.Weiss)

（不準確）比喻嚟講，喺高能粒子嘅量子場論世界，我哋嘅宇宙係好似「一煲由唔同材料煲成嘅湯」，空間充斥著一堆又一堆不停起伏擾動嘅量子場，包括真空狀態時。而哩「煲湯」，係會同muon有相互作用，修正muon嘅磁矩數值。哩個修正，係會根據「煲湯」嘅組成成份（量子場）而唔同。所以準確咁測量哩啲細微數值修正，係可以用嚟驗證Standard Model或粒子理論模型。

而上星期，Fermi Lab就公佈「發現」這個g-factor測量值同Standard Model嘅理論值有明顯分別，顯示有機會有未知嘅新粒子/基本力*影響𡁵muon。睇嚟屹立不倒多年嘅Standard Model，終於要迎嚟被推翻嘅一日？

* 喺標準模型同量子場論，力同粒子某程度上係「同一樣嘢」嚟，而基本力係由gauge boson傳遞

後記

(戴番頭盔先，一早未證實，都唔好開心得太早住)

Fermi Lab嗰單可以話係「old news is so exciting」，因為muon g-2值實驗同理論嘅差異，其實唔算「新發現」，早喺廿年前布魯克海文國家實驗室（Brookhaven National Lab）已經做過類似實驗，搵到類似嘅初步「證據」。今次Fermi Lab實驗，就係進一步驗證究竟哩個「發現」係真定假。所以哩個muon g-2差異，其實喺理論/粒子物理學界，可以話係「舊聞」喔！

另喺Fermi Lab公佈結果嘅同一日，有一組比較細，叫BMW嘅理論團隊，喺Nature發表一篇研究論文。佢哋研究喺完全唔參考量子色動力學實驗數值，單純透過格點量子色動力學（lattice quantum chromodynamics, lattice QCD），用超級電腦計算標準模型入面所有同QCD有關嘅費曼圖貢獻，發現標準模型嘅muon g-2理論數值，可能同一般粒子物理界其他團隊得出嘅值有出入，實驗數值仍然有機會同標準模型吻合 [2]。

最後正如小弟之前講，哩兩單「發現」，暫時都只係屬hints級別，統計數顯著性分別為3.1σ同4.2σ，仲未達理論物理真·發現級別，即純粹屬random chance嘅統計誤差要少於3,500,000份之一。

最後送首改編自單春歌曲嘅《棉棉》畀大家。

今次講到哩度，下次再講。

延伸閱讀：

[1] 《Intriguing new result from the LHCb experiment at CERN》CERN News

[2] 《Leading hadronic contribution to the muon magnetic moment from lattice QCD》

[3] 《第242話：新的物理學要出現了嗎？（Muon g-2實驗結果發佈》by 超中二物理宅

[4] 《The Muon g–2 Anomaly Explained》by Jorge Cham，即畫PhD Comic條友（英文漫畫圖解）

[5] 《‘Last Hope’ Experiment Finds Evidence for Unknown Particles》by Quanta Magazine

[6] 《NEWS: What’s up with Muons? – Sixty Symbols》 by Sixty Symbols （英文高質片）

[7] 《Why the Muon g-2 Results Are So Exciting!》by PBS Space Time （英文高質「非入門級」科普片）

[8] 《This result could change physics forever》by Physics Girl 

《諾貝爾物理學獎（一半）2020相關研究「專業」簡介》

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(網絡圖片)

嚟到十月，除左有世界某地區嘅「國殤日」外，亦係一年一度諾貝爾獎公佈得主嘅日子。而啱啱哩個禮拜，瑞典皇家科學院就公佈將今年嘅諾貝爾物理學獎一半頒畀著名理論物理學家兼數學家彭羅斯（Roger Penrose），另一半畀德國天體物理學家根素爾（Reinhard Genzel）同美國天文學家蓋茲（Andrea Ghez），以表揚佢哋喺黑洞（black holes）研究上作出嘅重大貢獻：前者由理論層面上，證明黑洞係廣義相對論（general relativity）嘅幾乎必然產物；而後兩者就由上世紀90年代開始，分別率領團隊透過多座世界最大嘅望遠鏡，用各種方法去直接觀察銀河系中心，證實咗嗰度存在住一個質量異常龐大嘅緻密天體（supermassive compact object）* [1]。

*一般相信係超大質量黑洞

對今年哩個結果，小弟身為一個（前？）理論物理學家，當然感到興奮，尤其係興幸彭羅斯唔使「步霍金後塵」，佢「終於」被評審賞識#，有機會借哩個機會令更多大眾關注同了解一下佢早年嘅革命性研究成果（而且佢仲係「祖國」嘅物理學家！）。不過有見大部份中文媒體報導，普遍都只係搬字過紙，直接翻譯外文報導，而且講解得唔精確，所以小弟想喺呢度嘗試嚟個「專業」簡介，講解吓彭羅斯嘅研究有幾重要同犀利。

#   其實有陣時小弟會覺得喺現今哩個時代，攞唔到諾貝爾獎某程度上先係理論物理學家嘅「榮譽」。始終諾貝爾獎太多過時嘅規則，而且理論物理學研究一早已經超前實驗研究好多，受人類科技所限，好多理論其實都好難可以喺物理學家生前被驗證到

「黑洞只係空中樓閣」，早期嘅相對論/黑洞研究

(圖片擷取自 youtube, 《What if Black HOLES were in Minecraft?》)

正式入主題前，我哋有需要了解一下相對論/黑洞研究史。愛因斯坦喺1915年發表嘅廣義相對論，無疑係物理學歷史上其中一個最重要同劃時代嘅理論，完美取締咗多年無可撼動嘅牛頓萬有引力理論。去到百多年後嘅今日，哩套理論仍然係物理學重要嘅研究課題，亦係宇宙學研究必備工具之一。

雖然哩套理論非常優美同「簡單」，當中嘅愛因斯坦場方程，甚至係只涉及4維時空度規張量（4-dimensional spacetime metric），運動方程為二階微分方程（second order differential equation）嘅定域性重力理論嘅唯一可能性（詳見Lovelock’s theorem [2]），但要完整明白整套理論同當中嘅可能性仍然係一件好困難嘅事。

首先廣義相對論嘅場方程係非線性（non-linear）偏微分方程，哩啲方程係冇辦法完整咁被破解，每個解都可以好唔同。另外物質/能量同時空間嘅關係環環相扣，前者嘅分佈決定時空點扭曲同演化，而同一時間，時空嘅曲率同演化又反過嚟影響番物質/能量點運行。所以絕大部份情況下，數學家同物理學家係冇辦法直接去解廣義相對論嘅方程（就算用電腦numerically都好難，係上世紀未先開始有突破，好似係）。

(credits: xkcd, #1158)

因為咁，尤其喺相對論研究早期，數學家同物理學家好多時都會退而求其次，假設一啲好特殊情況，例如有球狀對稱性嘅情況，簡化啲方程去解，就好似最早發現嘅史瓦西解（Schwarzschild solution）咁。而黑洞就係由史瓦西解出發，想像如果相關物質嘅質量全部被壓縮入史瓦西半徑內，從而得出嘅理論猜測。當哩個情況出現時，喺已知同被驗證嘅物理學框架下，係冇任何機制可以阻止物質被重力塌縮至一個「奇點」— 時空中一個密度無限大嘅一點^。

^ 一般相信「奇點」唔係真實存在，唔係咩所有物理學/自然法則唔成立嘅「神之領域」。「奇點」正確應該理解做廣義相對論失效嘅地方，代表需要用更加完善嘅量子重力去取締解釋。

不過哩個推論建基於特殊完美對稱性情況嘅假設上，而且數學上嘅方程解唔代表現實上存在，就好似「現實自然世界唔存在完美嘅三角形」，「愛因斯坦嘅靜態宇宙只係廣義相對論嘅特殊兼唔穩定嘅解，亦唔係我哋宇宙嘅模型」。所以上世紀60年代之前，唔少物理學家都認為黑洞只係「空中樓閣」。而愛因斯坦都係當中嘅一份子，佢自己一直都唔相信黑洞現實上存在 [3]。

黑洞係廣義相對論入面，無可避免嘅必然產物

（彭羅斯發明嘅彭羅斯圖。上圖描述一個史瓦西黑洞）

為左解答黑洞究竟係唔係只係特殊數學解哩個疑問，上世紀50年代數學家同物理學家就開始諗方法，喺唔考慮完美對稱嘅情況下，去解愛因斯坦場方程。其中一個就由惠拿（John Wheeler）等人提出嘅運用微擾理論（perturbation theory）嘅方法，加一啲微擾變化落完美對稱情況，去研究完美對稱解係唔係穩定，同拓展去考慮一啲條件冇咁苛刻嘅情況。而與此同時，彭羅斯就選擇走另一條革命性、完全唔同嘅路，透過研究光錐在時空中嘅幾何同拓撲結構，去理解喺廣義相對論中，事件間嘅因果關係結構。 

而佢研究得出嘅結論，就係喺廣義相對論框架同好普遍嘅情況下，只要某局部地方嘅重力足夠強大，能夠永遠困住入面嘅物質（包括暗物質）$，咁最終必然會演化出到一個「奇點」。所以只要恆星質量夠大，就無可避免會演化出黑洞。換句話說，哩個結論證明咗廣義相對論必然係未完善，唔係最終理論。

$ 除非你考慮暗能量嗰類exotic matter

哩個研究成果亦inspire咗霍金搵佢合作，將個結論反過嚟應用喺宇宙演化，證明廣義相對論框架下宇宙必然始於一個「奇點」，即係大爆炸奇點。結合哩兩個研究結論，就係著名嘅彭羅斯-霍金奇點定理（Penrose-Hawking singularity theorems）。

後記

除左研究理論物理學，彭羅斯亦係一位數學家，數學方面嘅貢獻都唔少，其中包括彭羅斯密鋪（Penrose tiling）嘅發現[4]。佢近年甚至走去研究意識，嘗試用量子力學去解釋/理解意識，不過個人對佢哩方面嘅研究就不願置評啦。

PS：每次網上有人討論天文物理學或分享相關新聞嘅時候，唔知點解不時會有人彈出嚟話「只係勁噏，都未親身去/睇過」、「都驗證唔到」、「研究嚟都無用」，尤其某個城市。對此，小弟只係想講Xiang Gang果然係人傑地靈，人材輩出，唔怪知會出到阿叻哩類偉人（曲）

今次講到哩度，下次再講。

延伸閱讀：

[1] 諾貝爾物理學獎英文官方新聞稿 https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2020/press-release/

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Lovelock%27s_theorem （英文維基）

《The Einstein Tensor and Its Generalizations》by D.Lovelock （專業理論物理學學術論文，「慎入」）https://doi.org/10.1063/1.1665613

[3] 《The Reluctant Father of Black Holes》by Jeremy Bernstein，刊於《Scientific American》（英文）https://www.scientificamerican.com/article/the-reluctant-father-of-black-holes-2007-04/

[4] 《諾貝爾物理獎得主潘洛斯爵士手中的數學》，數感實驗室 Numeracy Lab 

[5] 《Sir Roger Penrose: The man who proved black holes weren’t ‘impossible’》BBC https://www.bbc.co.uk/news/science-environment-54439150

[6] 《奇點與奇點定理簡介 (三)》，盧昌海著（殘體勿屌）https://www.changhai.org/articles/science/physics/energy_condition/singularity_theorem_3.php

[7] 《How Time Becomes Space Inside a Black Hole | Space Time》by PBS Space Time

[8] 《「黑洞係橙色嘅?」*淺談乜嘢係黑洞》
https://godfreyleungcosmo.wordpress.com/2019/04/27/%e3%80%8c%e9%bb%91%e6%b4%9e%e4%bf%82%e6%a9%99%e8%89%b2%e5%98%85%e3%80%8d%e6%b7%ba%e8%ab%87%e4%b9%9c%e5%98%a2%e9%bb%91%e6%b4%9e%ef%bc%88what-are-black-holes%ef%bc%89/

[繼續冇獎問答遊戲] 中學雞（？）問題：「點解光喺玻璃行得慢啲？」（Why light travels slower in glass?）

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  • （網絡圖片）

又到冇獎問答遊戲嘅時間啦！上次嘅「小學雞」估規律「數學」問題，唔知你答得啱唔啱呢？答「啱」嘅朋友恭喜晒，不過正如小弟標題所講，哩個係冇獎問答遊戲，所以答「啱」都係冇獎嘅（笑）。

番嚟正題，今次遊戲嘅問題係同物理學嘅折射有關。折射，哩個簡單、日常生活常見嘅物理現象，相信大家應該唔會陌生。哩個現象係指當光或其他物理波，由一個介質進入另一個介質時，佢嘅行走路徑會改變，轉咗方向。背後原理係因為喺唔同介質下，波嘅行走速度*唔同導致，而入射角同折射角嘅關係就遵守著斯內爾定律（Snell’s law）。

* 哩度速度係指波嘅相速度（phase velocity），唔係光子或一個獨立光波行走嘅速度

(credits: Dan Piraro)

哩個原因相信唔少讀過物理嘅中學雞都知。不過你又知唔知「點解光喺玻璃/水入面行得慢啲呢」？

坊間常見嘅解釋（common explanations on the internet)

對於「點解光喺玻璃/水入面行得慢啲」哩個問題，坊間有唔少解釋。一般人或網上嘅解釋主要有兩個：

1）受相互作用影響，光子同介質（玻璃）內嘅原子「碰撞」，行走路徑因為咁變咗迂回曲折，好似下面幅圖咁

（Credits：《Why does light slow down in water?》by 《Fermilab》[1]）

2）光畀物質中嘅原子吸收咗，隔一段時間後再被釋出，好似下面幅圖咁

（Credits：《Why does light slow down in water?》by 《Fermilab》[1]）

咁究竟哩兩個答案邊個先啱呢？（請大家唔好用錦囊「打電話」找Google大神求救）

答案係1定2呢？（So which explanation is the correct answer?）

（網絡圖片，圖擷取自：《亞洲電視 – 百萬富翁》節目）

好啦，聽完答案選項，你會揀1) 定2) 呢？究竟邊個坊間解釋先啱呢？嗯，對唔住，其實你揀邊個解釋，都係答錯（笑）。雖然聽認落「似層層」，好似好有道理，不過其實兩個解釋都有唔合理嘅地方，唔能夠完全解釋到折射哩個現象。

點解唔啱？先講第一個選項，即係假設光喺介質入面好似波子機咁，受入面原子電磁場嘅影響，跌跌撞撞咁先走到出嚟。冇錯，哩個情況下，光嘅路徑係會長咗，喺出面宏觀世界睇，好自然比起原本冇介質時直線行走需要長啲時間，咁睇落就好似行慢咗咁。之但係，同波子機一樣，哩個假設情況下，光同原子間嘅「碰撞」散射過程係隨機過程，光走出嚟嘅方向應該係隨機先啱，冇理由會次次都變番原本直線行走嘅方向。

另一個情況就話光係被介質吸收咗，一段時間後先再被放番出嚟。雖然量子微觀層面上，原子的確係會吸收光子，不過事實係原子只會吸收某特定頻率，能量係原子能階差嘅光子。所以如果哩個解釋係啱，唔同頻率嘅光，佢哋嘅折射率應該會差好多先啱，冇理由差異變化咁細同平滑。另一個問題就同選項1)一樣，哩個選項嘅物理過程，同樣係一個複雜嘅隨機過程。光由被吸收到放番出嚟所需嘅時間，同走出嚟時嘅方向，應該係隨機先啱，冇理由會好似折射過程咁，次次走出介質時都一樣。所以總括嚟講，哩兩個選項其實都錯。

正確嘅解釋（The correct explanation）

原來嗰兩個坊間解釋都錯，咁究竟正確答案係乜呢？其實哩條望落簡單嘅問題，背後嘅解釋比一般人所諗嘅複雜，而且仲可以有經典物理學（classical physics），即光波，同量子力學（quantum mechanics），亦即光子兩個版本。

（一）光波，經典物理學版本： 

原子中嘅電子因同光，亦即係電磁波，嘅相互作用，振動起嚟。根據電磁學，哩啲電子嘅振動又會產生出電磁波。哩啲因電子振動產生嘅電磁波，亦即係光，同原先嘅光整體加埋一齊，衍生嘅疊加效應所對應嘅，係一個相速度比較慢嘅光波。而當光離開介質時，冇咗嗰啲因振動產生嘅電磁波，好自然就會變番原本嘅電磁波，行番同一個速度同方向。

（二）光子，量子力學版本：

(credits: smbc-comics)

光經過介質，穿過物質原子嘅格子結構時，其實係用唔同機率走勻唔同路徑，並同自己「搞埋一齊」，進行干涉（interference），情形就好似用光子進行雙縫實驗（double-slit experiment）咁。哩個「條條大路通羅馬」嘅現象係量子力學微觀世界獨有，就算光源幾弱，只係一粒光子都會發生。當你將行唔同路徑嘅光子，佢哋嘅波函數（wavefunction）加埋一齊，最後得出嘅就係折射嘅結果。哩個係量子力學嘅費曼路徑積分表述（path integral formalism），係而家物理學家研究量子力學入面重要，經常被應用喺量子場論（quantum field theory）嘅工具。

原來係咁，不過哩兩個版本邊個先啱呢？答案係兩個都啱（某程度上）#，因為喺微觀量子世界，所有嘢都同時具有物理波同粒子嘅特性，所以哩兩個版本理論某程度上係等價嘅。

#雖然正確嚟講，路徑積分表述版本比經典物理學版本嚟得正確啲。因為量子力學版本可以解釋到更多嘢。更詳細、嚴謹嘅解釋可以睇《Sixty Symbols》嘅第2條片[4]

最後喺完之前，容小弟分享一下高登音樂台嘅二次創作，希望為大家喺全球武肺疲情仍然嚴峻嘅今日，可以輕鬆一下。

今次講到哩度，下次再講。

延伸閱讀：

[1] 《Why does light slow down in water?》by 《Fermilab》

[2] 《Why is light slower in glass? 》by《Sixty Symbols》

[3] 《路徑積分與費曼圖（上）》，蕭維翰著

[4]《More rambling on Refraction》by 《 Sixty Symbols》