大爆炸系列 [二] 我哋都係大「爆炸」下嘅產物 (We are all remnants of the Big Bang)

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(Credits: S.Harris, http://www.sciencecartoonsplus.com/gallery/astronomy/galastro2h.php#)

好耐冇講嘅宇宙大爆炸系列番嚟啦!今次繼續同大家講吓宇宙學中「家傳互曉」,人人都聽過嘅宇宙大「爆炸」理論(the Big Bang theory)。上回提要:宇宙大「爆炸」係空間膨脹唔係爆炸,冇所謂中心點。大「爆炸」正確嚟嘅應該叫「處處伸展」理論,理論本身亦唔包同冇說明宇宙起源同開端係點。再講多一次,「大爆炸」其實係一個改得好差嘅學術名稱,連漫畫家都笑物理學家幫個理論起個咁嘅名,見下圖 [banghead]

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(Credits: Calvin and Hobbes, 5 May 1991, http://i934.photobucket.com/albums/ad185/tannybogus/cea4a42f6e6a513764687b527da6a9b1.jpg)

大爆炸嘅證據 (the evidence of Big Bang)

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(Credits: Darrin Bell, http://www.thecomicstrips.com/store/add.php?iid=130664)

成日都聽啲物理學家講宇宙大爆炸,但佢哋又冇親眼見證過大爆炸發生,佢哋又憑乜嘢「9up」話宇宙曾經發生過「爆炸」呢?無錯,冇人喺大爆炸嗰刻已經出世,冇人親身見證過宇宙誕生嘅歷史,但唔一定要親眼睇到,經歷過先至算上係確切證據。唔通因為我哋未親眼見過活生生嘅恐龍,我哋就可以無視一堆堆骸骨、化石證據,否認牠們曾經存在同主宰住地球(聖經至上嘅極端耶撚除外)?

比喻嚟講,宇宙學家推論出大爆炸模型當中嘅過程就好似睇住一個細路或者一樖植物隨時間長大咁,我哋可以根據佢哋嘅成長情況從而推論出以前或者將來佢哋會變成點,進而建構一個能準確描述佢哋成長過程嘅模型。不過正如拙文開頭所講,大爆炸唔係完整理論,係唔可以無限倒帶回推番到無限久遠嘅過去。就好似一個細路仔,唔通單由佢身體不斷長大嘅過程你可以推論出佢出生嗰刻係一個「奇點」,係自己無中生有或者好似孫悟空咁由石頭咁「爆」出嚟?PS: 有關宇宙大爆炸模型嘅問題下一篇文再詳細講。

雖然哈勃(Edwin Hubble)喺上世紀初發現星系紅移(galaxy redshift)係最早支持宇宙唔係恆態而係膨脹中嘅觀察證據,但真正確立宇宙大爆炸模型係啱同佢地位嘅係小弟下面會詳細講嘅其他證據。

證據[一] 宇宙微波背景 (The Cosmic Microwave Background, CMB)

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(Credits: ESA, Planck mission)

宇宙大「爆炸」雖然唔係一次爆炸,但同「爆炸」類似,宇宙整體本身其實都好似一個「火球」,佢係有溫度同會釋放出黑體輻射(blackbody radiation)*。當宇宙大「爆炸」發生後冇幾耐,宇宙仲係好早好早期嘅時候,佢嘅能量密度同溫度非常之高,入面一切物質都處於離子化(plasma)狀態。喺呢個充滿高能量光子嘅環境下,所有物質都會被「分解」^成質子、中子和電子等嘅自由離子,而佢哋同高能量光子(輻射)間嘅強烈相互作用會令啲光(子)冇辦法喺宇宙空間入面自由穿梭,宇宙空間喺嗰時對光(子)嚟講係唔透明嘅。用比喻嘅話情況就好似身處番工或放工繁忙時間時嘅金鐘站,喺一窩蜂嘅人潮入面「逆流」而行時,無論你行得幾快點樣走都好難行得郁同避免同其他人冇身體碰撞。

*根據物理學其實任何有溫度嘅嘢都會釋放出(黑體)輻射

^呢度小弟括住「分解」係因為嚴格嚟講用呢個詞唔係幾啱,啲物質喺之前冇結合成原子過(除非循環宇宙模型cyclic universe被證實),所以用「分解」其實有啲唔係幾恰當 【自:O)】

之後隨著宇宙繼續膨脹,開始冷卻到某個溫度後,高能量嘅光子愈嚟愈少。呢個時候電子開始同質子結合成氫原子,而呢啲中性嘅氫原子同宇宙背景輻射嘅光子冇乜太強烈嘅相互作用。宇宙演化史中呢個紀元叫復合(recombination )#。由呢個時候開始宇宙溫度所衍生嘅背景黑體輻射先真正開始喺宇宙空間入面自由穿梭,由嗰刻開始你先會睇到呢啲嚟自四方八面嘅背景輻射。後嚟宇宙繼續膨脹,呢啲黑體輻射嘅光就會因為宇宙紅移佢哋嘅波長會被一直拉長,最終去到宜家變成微波,所以我哋嘅宇宙其實係一個巨大嘅微波爐,裡面充斥著「會煮熟人」嘅微波呀!(講笑咋,唔會煮熟人)

#又一個改得好差嘅學術名稱,明明之前就冇一齊過(除非循環宇宙得到證實),又何來「復合」?[sosad] 

宇宙微波背景呢樣嘢其實早喺被發現之前,物理及宇宙學家伽莫夫(George Gamow)已經喺上世紀40年代根據之前費德里曼(Alexander Friedmann)同耶撚(?)勒梅特(Georges Lemaître)等人提出嘅非恆態宇宙,大爆炸理論雛型預測到佢嘅存在。伽莫夫係最早將前人研究嘅非恆態嘅廣義相對論公式同解深入應用喺描述宇宙演化同膨脹,並最先提出宇宙早期能量以輻射形式為主,即輻射主控時代(radiation dominate era)嘅第一人,從而推論出宇宙本身係有溫度,而且會隨膨脹或收縮改變。之後佢嘅學生阿爾化(Ralph Asher Alpher) 同另一位物理學家赫爾文(Robert Herman)其後修正番佢原先嘅估算,推測宇宙背景輻射對應嘅溫度大概應該係5K(絕對溫度)左右。

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(Credits: https://thesciencegeek.org/2015/07/25/the-steady-state-theory/)

雖然大爆炸模型開始逐漸成形而且理論上亦有宇宙微波背景呢啲預測可以去做驗證,但嗰時物理學界對大爆炸仍然存疑,對宇宙究竟係穩態定非穩態仲爭論𡁵,始終星系紅移並唔係一個好有力支持大爆炸模型嘅證據。同時期以天文學家荷爾(Sir Fred Hoyle)$為首提出穩態理論(steady-state theory),認為如果星系間嘅空間不斷產生物質,即使宇宙係膨脹𡁵,宇宙嘅特性好似物質嘅分怖、能量密度、星系遠離速度同距離嘅關係等喺任何時候睇都一樣,唔會隨時間改變,好似上面幅圖咁。

$改「大爆炸」呢個名嘅罪魁禍首

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(Credits: NASA, https://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:Horn_Antenna-in_Holmdel,_New_Jersey.jpeg#mw-jump-to-license)

對大爆炸模型嘅爭論終於喺後嚟經由天文學家威爾遜(Robert Wilson)彭齊亞斯(Arno Penzias)喺60年代利用類似上面幅圖咁樣嘅喇叭型天線測量嚟自天空嘅無線電波時意外發現宇宙微波背景得到平息。其實起初佢哋嘅目的係做衛星通信實驗,冇諗過用嚟搵宇宙微波背景,只係咁啱佢哋發現就算儀器指向天空邊個方向都測到一啲額外睇落似嚟自外太空嘅微波雜訊。一開始佢哋仲以為啲雜訊係雀仔嘅雀屎引起,但經過一大輪驗證後終於確定呢啲雜訊其實係充斥住宇宙嘅背景輻射,佢哋亦因為呢個重大發現喺1978年獲得諾貝爾物理學獎。

證據[二] 太初核合成(Big Bang nucleosynthesis)

除左宇宙微波背景之外,另一個支持宇宙大爆炸模型理論嘅有力證據係太初核合成(Big Bang nucleosynthesis),而呢樣證據亦都關上面提到嘅伽莫夫事。除左從理論出發最先預測有宇宙微波背景存在之外,伽莫夫仲有發表聞名於後世嘅「αβγ」論文[1],詳細解述今日我哋宇宙中嘅主要化學成分嘅百分比點樣透過宇宙大爆炸而形成,呢個就係太初核合成嘅理論。

喺大爆炸同暴脹發生後冇幾耐,宇宙處於極高溫同高壓嘅離子狀態嗰種情況下,宇宙仲未有原子存在,所有物質都會被「分解」成中子、質子等嘅基本粒子。隨住宇宙膨脹,當宇宙降溫降到差唔多,高能量光子愈嚟愈少時,質子同中子開始因為強核力結合組成氘原子(H-2或D)@。呢啲氘原子之後又會因為相互間嘅強核力作用再結合成重啲氦同鋰同位素原子,詳細嘅化學反應公式可以睇下面幅圖。

@氘為氫原子嘅同位素

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(Credits: http://www.einstein-online.info/spotlights/BBN.html)

上述核聚變嘅過程宇宙學家可以根據大爆炸模型宇宙早期嘅溫度同密度推測光子同重子嘅比例,從而推測核聚變發生時嘅條件去估算最終氫、氘、鋰呢啲元素佔宇宙化學成分嘅百分比。現時觀察證據顯示嘅宇宙化學成分百分比都同大爆炸模型估算嘅非常吻合,由此我哋可以確定大爆炸模型係啱,氫、氘、鋰呢啲元素的確係經大爆炸而誕生嘅。

今次講到呢度,最後請記住真正確立大爆炸模型嘅證據唔係星系紅移,係宇宙微波背景同太初核合成先啱。喺最最後送首今屆世界盃主題曲為本拙文同今屆世界盃作結

https://youtu.be/WmZtW3c5mgo

引伸延讀:

[1] R. A. Alpher, H. A. Bethe, G. Gamow, The Origin ofChemical Elements, Physical Review 73 (1948), 803.

[2]《Q: What is the evidence for the Big Bang?》(英文)

http://www.askamathematician.com/2011/04/q-what-is-the-evidence-for-the-big-bang/

[3] 《早期宇宙的實驗室:宇宙微波背景》,郭兆林著,刊於《物理雙月刊》2005年12月

http://psroc.org.tw/bimonth/download.php?d=1&cpid=147&did=3

[4] https://zh.m.wikipedia.org/zh-hk/宇宙微波背景

[5] http://blog.sciencenet.cn/blog-677221-936807.html (殘體)

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(理論)物理學家眼中嘅美—對稱(The beauty in physics – symmetry )

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(日劇《神探伽利略》劇照)

究竟點先係美或靚呢?呢個哲學問題某程度上答案因人而異。正所謂「情人眼裡出西施」,「鹹魚青菜各有所愛」,當騎呢、重口味嘅大媽街舞都可以盛行同有人欣賞,你就知道美學冇一個絕對嘅客觀標準⋯咁「理性為主,唔重感情」* 嘅物理學家對美嘅本質又有咩睇法呢?究竟(理論)物理學家係點樣欣賞自然世界嘅美,點介定一個理論「靚唔靚」呢?

*呢個其實只係普通人嘅刻板印象同偏見,科學家/物理學家都係人,大部分都唔係好似電影或小說所描寫咁麻目不仁,冇感情一切以理性行先嘅怪人

物理學家嘅美學準則—對稱美 (The beauty in the eyes of physicists – symmetry)

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雖然哲學層面上美學嘅本質或者冇絕對答案,但每個人至少都有自己一套睇法,咁物理學家呢?每當你聽到一個理論物理學家評論或讚一個理論「好靚」時,究竟佢哋用𡁵咩準則,或出於咩原因咁認為呢?唔通同搵男/女朋友一樣只係講感覺,合唔合眼緣?

梗係唔係啦!(理論)物理學家唔係政治家,大部分冇深造過語言偽術,唔識「搬龍門」,佢哋評價物理理論同自然世界有一套嚴謹嘅美學準則—簡單(simple)同對稱性(symmetry)。呢度講嘅簡單唔係單純指愈容易理解,涉及愈少複雜嘅數學公式/理論就愈好。(理論)物理學追求嘅係一套喺盡可能簡單,最少假設嘅情況下盡可能解釋自然世界最多現象嘅理論,而最終嘅極致目標當然就係能夠解釋到物理世界所有嘢嘅萬有理論(theory of everything )。正如愛因斯坦話齋(好似係[1])

“Everything should be made as simple as possible, but not simpler.” – Albert Einstein

至於對物理學家嚟講咩嘢先叫簡單,點先叫愈簡單愈好,其實涉及貝氏統計學理論而且某程度屬哲學問題,下次有機會再詳細講。今次小弟想同大家討論吓後者,即係對稱性。

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對稱呢個概念大家喺讀小學嗰時上數學堂應該都已經有接觸過,好似一個左右對稱#/旋轉對稱嘅幾何圖形形狀,我哋淨係研究佢哋某一部分,然後再根據對稱性就可以推論出佢哋整體嘅結構同特性,好似面積同周界咁。對稱喺數學上係同群論(group theory)有關,喺幾何對稱圖形上面做鏡射左右對調#或者旋轉呢啲對稱操作就等如對群(group)進行某種群作用(group transformation)。

#現實物理學世界左同右其實係有分別。有關左同右嘅物理學遲啲有機會再詳細講
數學同物理入面對稱性簡單可以分為兩種:連續對稱(continuous symmetry)散離對稱(discrete symmetry)。圓形/球體就係最簡單擁有連續對稱性嘅形狀,而正方形嘅對稱性就屬散離,將佢旋轉嘅話要每轉90度先會變番一模一樣。我哋身處嘅自然世界,現實中嘅物理系統其實都存在住好多好多林林總總唔同嘅對稱性。研究時考慮對稱性,好多時仲可以將複雜嘅物理系統簡化,省卻繁複嘅運算,實驗同推論過程。例子就好似計拋物線咁,喺重力,外在環境條件不變嘅情況下我哋可以用系統方程嘅對稱性直接推論出物件向上行同向下跌時嘅過程相類似,運行一樣距離時兩者所需時間一樣。

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https://www.smbc-comics.com/comic/2013-03-17([offtopic] 呢招對小弟冇用㗎,好似係)

物理學入面對稱性仲會劃分為局部對稱性(local symmetry)整體對稱性(global symmetry)。除左呢啲之外理論物理學中仲有一種對稱性叫規範對稱性(gauge symmetry)。規範對稱性同好似旋轉對稱呢啲物理系統本身擁有嘅對稱性唔同,佢並唔係「真實存在」,反映嘅其實係物理學家表述物理系統時多出嚟冗餘性。經典嘅例子就好似廣義相對論中系統嘅時空座標咁。

對稱性除左可以簡化運算,幫助我哋更簡潔咁描述物理系統外,對稱性喺物理學上仲有更深層嘅意義,佢其實仲可以話係自然物理世界根本結構嘅圖則,神/造物者(如果真係有)都係根據呢啲圖則嚟創造世界㗎咋!

守恆定律係世界真理,永遠都啱?(Are conservation laws always true?)

大家高中讀物理時都會遇到一堆守恆定律,好似咩能量守恆、動量守恆、角動量守恆等等,但你又有冇認真諗過啲定律點嚟?會唔會覺得堆守恆定律冇乜深層物理意義,只係一堆透過實驗同經驗累積返嚟嘅定理?會唔會認為佢哋就好似動畫世界入面「等價交換」,「一即是全,全即是一」嗰種永恆不變嘅真理?如果你真係咁諗就錯啦!每一條守恆定律其實背後都對應著系統本身嘅一種連續對稱性,而且唔係永恆幾時都啱。呢個係諾特定理(Noether’s theorem),理論物理學上世紀其中一項最重要同影響深遠嘅發現。具體學術啲嘅講法,諾特定理指嘅係

每個局部作用下嘅可微分對稱性(differentiable symmetry)都存在住一個相對應嘅守恆定律。

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https://www.google.com/doodles/emmy-noethers-133rd-birthday

發現同完整證明呢個定理嘅係一位較少大眾認識同提及,但連愛因斯坦等一眾著名物理學家同數學家都欣賞,並稱頌佢為數學史上最重要嘅女仕—理論物理及數學家諾特(Emmy Noether)[2]。

根據諾特定理,動量守恆(momentum conservation)同能量守恆(energy conservation)其實係物理系統喺3維空間同喺時間軸上存在平移對稱性嘅結果。空間/時間平移對稱(spatial/time translational symmetry)係指如果我哋將同一個情況或實驗放喺地點同時間(x,t)睇/做,同將佢哋擺係(x+a, t+b)冇分別。同一原理,角動量守恆(angular momentum conservation)背後對應嘅係旋轉對稱(rotational symmetry)。

諾特定理顛覆咗物理學家對守恆定律一直以嚟嘅睇法,守恆定律其實唔係根本永恆不變嘅真理。即使係大家日常生活習以為常,以為永遠都啱嘅守恆定律,佢哋喺系統相對應嘅對稱性被破壞嗰一刻亦會同時失效。好似喺浩瀚嘅宇宙,宇宙膨脹所導致嘅宇宙紅移(cosmological redshift)本身就係違反能量守恆嘅經典例子。咁係因為用於描述宇宙演化背後嘅廣義相對論摒棄咗自牛頓甚至更久遠之前物理學家一直信奉嘅絕對時空概念,理論所描述嘅4維(3+1)時空唔係獨立永恆不變而係會根據物質能量嘅分佈隨時間演化。既然時空唔再係永恆不變,咁好自然廣義相對論會推導出宇宙膨脹,宇宙整體能量唔守恆嘅結果。

詳細有關對稱性同諾特定理嘅講解可以睇下面短片(英文):

今次講住咁多先,下次再談。

引伸延讀:

[1] https://quoteinvestigator.com/2011/05/13/einstein-simple/

[2] https://case.ntu.edu.tw/blog/?p=27254 諾特生平介紹

[3] 《對稱與物理》,科學月刊2010年3月份,賴昭正著

http://gclie.users.sonic.net/gclie/sym-phys.pdf

[4] http://thekidshouldseethis.com/post/what-is-symmetry-in-physics

 

「(偽)小學雞」(真·宇宙學)問題:點解夜晚個天係黑色嘅?(Why the sky is dark at night?)

(credit: Calvin and Hobbes comic)

讀小學甚至幼稚園,初次接觸天文或睇夜空嗰時,相信都會有呢個疑問:「點解有夜晚?點解天空夜晚係黑色嘅?^」唔知大家而家(長大後)知唔知呢個問題嘅答案係乜呢?

吓?玩嘢呀?夜晚出現咪地區因為地球自轉而轉咗去背面,太陽照射唔到嘅位置囉!咁都要問?呢個唔係俾小學雞嘅問題咩?小弟幾時變咗幼稚園/小學老師,教大家係人都知嘅嘢?[sosad] 冷靜啲,小弟既然咁問得,呢個問題當然唔係平常人所諗得咁簡單啦!即使係「創作力量同幻想會嚇你一跳」嘅地平論支持者佢哋嘅解釋都淨係圍繞著太陽,而話同太陽有關只係答啱咗一部分,要真正解答呢個問題其實要用到宇宙學 [slick]

^黑色唔係光嘅顏色嚟,睇到黑色代表冇光喺可見光譜入面

奧伯斯悖論(Olbers’ paradox)

要明「點解會天黑?」呢個問題點解會比想像中複雜同涉及宇宙學,我哋可以從一啲假設出發。試想像我哋身處喺一個穩恆狀態下而且無限大無界邊,恆久存在嘅宇宙,入面嘅恆星平均分佈喺每個角落。呢個亦係直至上世紀初大部分人同科學家包括牛頓一路所相信嘅宇宙模型,因為始終無人用肉眼直接睇到啲星系遠離𡁵我哋呢啲宇宙膨脹現象。之但係如果真係咁嘅話,「夜晚」其實唔應該會天黑,因為無論隔幾遠都好,每粒恆星發出嘅光都應該有足夠時間去到地球照光個天。

 

點解?你試想像我哋將宇宙細分成一個個直徑唔同,厚度一樣嘅同心圓球殻。如果我哋嘅宇宙恆星分佈真係均勻嘅話,假設喺直徑為n嘅球殻範圍內有N咁多恆星,咁這層球殻對外直徑兩倍長,為2n嘅一層因爲體積大4倍就會有約4倍更多嘅恆星喺裡面,好似下面幅圖咁。不過因為2n嗰一層比n嗰層遠咗兩倍,所以嗰層入面每粒恆星嘅光嘅強度喺地球睇會弱4倍。呢兩個效應加埋會抵消,所以直徑係n嘅球殼入面堆恆星整體光度加埋嘅總和同直徑係2n嘅嗰層嘅光度其實係一模一樣,完全冇分別。由此我哋可以推論喺呢個過時嘅宇宙模型整體上恆星光度嘅總和係唔受距離影響,如果我哋附近嘅太陽可以照光嗰天,咁遠啲恆星加埋一齊一樣可以。

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https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cd/Olbers%27_Paradox.svg

換個簡單形象化一啲嘅講法:喺呢個永恆無限大無邊界嘅恆態宇宙模型,假設恆星分佈均勻,你喺地球望上天任何一個方向,你始終都會發現有恆星出現喺嗰個方位。就算粒恆星或者距離我哋好遠好遠,但佢嘅光點都會有足夠時間去到地球。另外恆星分佈均勻嘅話天空任何方向嘅光度亦應該一樣,好似下圖動畫咁

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d2/Olber%27s_Paradox_-_All_Points.gif

咁點解我哋夜晚見到嘅係漆黑一片呢?詳細有關呢個悖論嘅講解可以睇下面短片(英文)

總捨嚟講,呢個悖論係建基於下面對宇宙模型嘅三項假設:

1)宇宙係無限大同無邊界嘅
2)恆星均勻分布喺宇宙每個角落
3)宇宙係永恆同恆態嘅

有呢個悖論問題出現,夜空係黑色嘅證明咗上述三項假設必定至少有一項係錯嘅。

「點解會天黑?」呢個問題又叫奧伯斯悖論(Olbers’ paradox),由德國天文學家奧伯斯(Heinrich Wilhelm Olbers)1823年喺論文提出,類似嘅想法其實早在15-16世紀數學及天文學家迪格斯(Thomas Digges)克普勒(Johannes Kepler)已經有略略討論過。對於呢個問題,當時科學家有好多唔同嘅解釋。例如有啲天文學家認為宇宙其實充斥著一啲會吸光嘅物質,令大部分恆星嘅光無辦法嚟到地球;另一班人就認為恆星其實並唔係好似假設咁係平均分佈,地球只係咁啱位處恆星分佈較少嘅黑暗區域。

答案:現在公認合理嘅解釋(Answer: Current accepted explanations)

原來「點解會天黑?」呢個問題係咁複雜㗎!咁我哋知道點解未?當然係知道啦,而家公認正確嘅解釋係宇宙膨脹。喺一個膨脹中嘅宇宙,光嘅波長會因為時空嘅膨脹而變長,呢個現象叫宇宙紅移(cosmological redshift),類似多普勒效應(Doppler effect)嘅結果*。由於光速喺直空不變,光嘅波長長咗亦即係話光嘅頻率變小,所以亦即係話能量變細咗,詳見下圖。

*本質上其實同多普勒效應有啲分別

(credit: R.L McNish 2009)

距離愈遠嘅恆星佢哋嘅光喺嚟地球過程時經歷嘅時空膨脹就愈多,同時損耗嘅能量亦愈多,所以佢哋整體嘅光強度會比近啲嘅弱好多。宇宙紅移呢個係哈勃(Edwin Hubble)喺觀察星系時發現最早用嚟證明宇宙係非恆態,其實係膨脹中嘅現象。後嚟當搵到更多證據好似宇宙微波背景(cosmic microwave background, CMB)太初核合成(Big Bang nucleosynthesis)等,大爆炸模型得到完善同證實之後,宇宙膨脹已經確立成為咗「點解會天黑?」呢個問題嘅公認解釋#。大爆炸模型亦話俾我哋知恆星並唔係永恆存在,恆星起源同可觀察宇宙係有開端嘅(呢度小弟強調「可觀察宇宙」係因為大爆炸模型並唔係完整嘅模型,我們仲未知道視界外嘅宇宙同大爆炸奇點應該係點)。喺早期宇宙處於高溫離子狀態或者物質仲未有足夠時間因爲重力聚埋一齊嗰時嘅環境係孕育唔到恆星嘅。

所以某程度上「夜晚天黑」其實係大爆炸同宇宙膨脹嘅證據之一,下次教細路仔時記得唔好再「呃」佢哋話天黑(只)係因為「太陽伯伯」落咗山啦!

#詳細有關大爆炸模型嘅觀察證據有機會下篇文再講

 

今次講到呢到,最後送首歌作結,下次再講

 

引伸延讀:

[1] https://youtu.be/gxJ4M7tyLRE (中文字幕)
[2] https://en.m.wikipedia.org/wiki/Olbers%27_paradox
[3] http://history.pansci.asia/post/130923840925/科學史上的今天1011夜空為何那麼暗

白話文版:

https://medium.com/@godfrey.leung.cosmo/%E5%81%BD-%E5%B0%8F%E5%AD%B8%E9%9B%9E-%E5%95%8F%E9%A1%8C-%E7%82%BA%E4%BD%95%E5%A4%9C%E7%A9%BA%E6%98%AF%E9%BB%91%E8%89%B2%E7%9A%84-why-the-sky-is-dark-at-night-c5612598a846

[我見過霍金,我真係見過*] 淺談霍金學術成就(一)(Hawking academic achievements I)

*PS: 咁又點?[sosad]

(credit: Mitchell Toy)

上星期三,近代物理學界嘅偉人之一嘅霍金(Stephen Hawking)終於喺睡夢中與世長辭,享年76歲。各媒體、普羅大眾紛紛一窩蜂悼念呢位繼愛因斯坦後最出名,最受大眾認識嘅宇宙學及理論物理學家。不過除左知道霍金係肌萎縮性脊髓側索硬化症(ALS)或簡稱凍人症患者,早年已經飽受呢個罕見疾病折磨,甚至被一開始被診斷只係淨番兩年命,但直到最後佢仍然不屈不撓繼續做研究,同個病搏鬥嘅勵志故事,或者睇過吓但睇完都未必知講乜,佢一系列科普著作好似《時間簡史》(《A brief history of time》)或電視節目外,你對佢嘅學術成就又有幾多認識呢?

小弟不才,希望為大家簡介一下霍金呢位近代其中一位最偉大理論物理學家嘅學術成就,以悼念霍金同多謝佢對物理學作出嘅貢獻。有別於其他文章,小弟想先由佢一啲相對比較少人認識嘅學術成就講起。

尚在研究階段,未被學術界公認係啱但劃時代嘅理論 (Hawking’s evolutionary but relatively less accepted theories/ideas in theoretical physics)

歐氏量子重力,宇宙嘅波函數(Euclidean quantum gravity, wavefunction of the universe)

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(Credit: Ron Salas, http://www.ronsalas.com/hawking-space/)

喺霍金學術生涯後期,佢開始將研究目標轉向一個困擾近世紀理論物理學界嘅最大問題,就係一套可以融合廣義相對論(general relativity )量子力學(quantum mechanics)呢兩套二十世紀最成功、但描述𡁵唔同尺度嘅理論,可以同時描述重力喺宇宙、經典物理學宏觀尺度同喺微觀量子世界下嘅完整理論。

有別於其他近代大部分研究量子重力嘅理論物理學家,專注喺弦理論(string theory)超重力(supergravity)或者近年興起嘅迴圈量子重力論(loop quantum gravity),佢研發出一套少被大眾提及,較少理論物理學家追捧嘅理論—歐氏量子重力(Euclidean quantum gravity)並由呢個方向出發。要講霍金喺呢方面嘅成就,首先要簡單介紹吓乜嘢係歐氏量子重力。唔同弦理論、超重力或者迴圈量子重力,喺假設時空同所有基本粒子都係由好細嘅弦組成、有超對稱性(supersymmetry)或者假設時空本身唔係連續(continuous )而係離散(discrete )嘅前題下研究量子重力,歐氏量子重力喺一個比較general冇特設前題下研究量子重力嘅方向。呢個理論用咗理論物理學一個已知同成功叫威克轉動(Wick rotation)嘅「數學把戲」,好似下面幅圖咁,將時間改寫成虛數,然後喺呢個虛數時間系統入面搵動態系統嘅解,再對應番本身喺真實時間(real time)嘅解。呢個方法本身嘅根據就係數學理論中嘅解析延拓(analytic continuation),即係嗰個小弟之前提過,網上被好多門外漢聲討唔啱,用嚟得出1+2+3+…=-1/12嘅數學方法。威克轉動其中一個成功例子包括將用統計力學(statistical mechanics)同量子力學兩個唔同方法,代表著宏觀同微觀世界計算得出嘅可觀察量連結起嚟,譬如好似我哋將統計力學中有關溫度嘅 1/k_B T 轉換成量子力學中嘅 it/ħ咁(想了解多啲請睇維基[3]、Quora上面嘅解答[5]或其他教科書)。

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https://qph.ec.quoracdn.net/main-qimg-de47f721915d46e79c904ad857af4d91

呢個方法喺研究量子重力有用喺因爲喺相對論中,屬於偽黎曼流形(pseudo-Riemannian manifold)嘅時空,一個運算上較麻煩嘅流形,喺威克轉動後會變成黎曼流形(Riemannian manifold),一個相對運算上較容易,物理學同數學家比較熟識嘅流形。簡單嘅例子就好似
狹義相對論(special relativity)中嘅4維閔可夫斯基時空(Minkowski space)喺威克轉動後會變成大家都好熟識,中小學已經有教嘅歐幾里得空間(Euclidean space)咁,只係由3維變咗4維。歐氏量子重力就係一個廣義相對論經過威克轉動,然後再做量子化(quantisation)得出嘅量子場學(quantum field theory)重力模型。

呢個理論由霍金喺1978年提出,而佢喺呢方面最著名嘅研究係同另一位理論物理學家哈圖(James Hartle)循呢個方向,研究宇宙喺接近大爆炸開始時嘅邊界條件(boundary conditions),提出咗另一個被大眾媒體廣泛引述,被寫入個人科普著作《時間簡史》同佢不時提起嘅劃時代理論—哈圖-霍金量子態(Hartle-Hawking state)。乜話?未聽過?換個名或者講法,叫宇宙無邊界條件模型你應該聽過啩?呢個模型講嘅係假設如果我哋可以好似量子力學描述粒子狀態咁用一個波函數(wavefunction)去描述宇宙,喺歐氏量子重力嘅框架下當你考慮同「加晒」宇宙所以可能發生嘅歷史後#,佢哋發現宇宙喺大爆炸發生嗰刻嘅奇點(singularity),一樣代表著理論失效嘅嘢會被移除,而宇宙喺呢刻時空冇所謂邊界,即係唔需要邊界條件(no boundary conditions),宇宙同時間係冇所謂起點,所以講時間同空間喺大爆炸前係冇意思,因為定義唔到。最常見,多人講嘅比喻就係好似霍金講咁,喺2維地球表面上當你身處北極時問比北極仲要北嘅係乜根本冇意思。由於呢個模型唔需要設定最開始喺大爆炸時嘅邊界條件係乜,所以霍金喺解釋呢個模型時講過 “If the universe has no boundaries but is self-contained… then God would not have had any freedom to choose how the universe began.” ,亦喺《時間簡史》入面講過「我哋唔一定需要神去解釋宇宙超源同大爆炸點嚟」(the existence of God was not necessary to explain the origin of the universe)

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【“This doesn’t prove that there is no God, only that God is not necessary.” Hawking, source: Der Spiegel (17 October 1988)】

#呢到「加晒」講嘅係一個量子場學概念,詳見路徑積分表述(path integral formulation)

雖然呢個理論同想法幾創新同劃時代,但歐氏量子重力同其他量子重力遇到嘅問題一樣咁多,更甚嘅係呢個方法對做量子重力場嘅理論運算,例如要計一粒重子(graviton)$同另一粒重子碰撞散射後嘅結果等咁冇幫助,甚至比弦論或超重力更差。上個講呢套理論應用喺大爆炸奇點個方法亦唔知點用喺黑洞奇點到,所以呢個理論方法比較少量子重力學家研究,霍金提出嘅模型暫時仲留喺比較初期,假說比較有爭議嘅階段,未被學術界公認,啱唔啱好難講

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黑洞資訊悖論(black hole information paradox)

另一個小弟想講嘅係一個較少人提及,但同霍金研究有好大關係嘅一個黑洞未解之謎。呢個嚴格講唔算霍金嘅學術成就,因為除左提出一啲可能性同假說外,佢其實未有一套完整理論解答呢個問題 (雖然佢可能知道正確答案,只係未能喺生前寫低一套完整理論)[sosad] 既然呢個問題仍然未有答案,物理學家仲爭論𡁵,霍金生前亦未有完整解答,點解小弟會話呢個係霍金其中一個「學術成就」呢?咁係因為呢個咁重大,幾肯定會為未來量子重力帶嚟新研究方向嘅謎團好程度係因為霍金有關黑洞嘅理論先出現。呢個問題嘅答案好大機會會顛覆物理學界對量子力學或者黑洞嘅理解。

如字面咁解,呢個問題問嘅就係「當物件跌入黑洞後,物件本身嘅訊息去咗邊?」當然要理解呢個問題,我哋首先要了解一下霍金花咗好多時間探究,對範疇做出咗大貢獻,有關黑洞嘅理論。喺黑洞研究早期,一般相信黑洞完全係黑暗一片,所有嘢跌入黑洞之後都出唔番嚟,同事件視界(event horizon)外嘅世界完全隔絕。其後喺1970-1973年間霍金同另外兩位理論物理學家巴甸(James.M Bardeen)卡達(Brandon Carter)發表黑洞熱力學說(Black hole thermodynamics),四條有關黑洞,類似熱力學說(thermodynamics )嘅黑洞力學定律(four laws of black hole mechanics)。雖然類似熱力學,而家被定名為黑洞熱力學說,但當時霍金等人只係認為呢個係類比,黑洞仍然係黑暗一片,同熱力學冇關。不過後嚟當時仲係博士生,喺著名相對論學家惠拿(John Wheeler)指導下做研究嘅著名物理學家貝肯斯坦(Jacob Bekenstein)「斗膽」提出呢套定律唔係類比,如果套定律真係啱,咁根據同量子力學有關嘅思想實驗嘅推論黑洞應該有熵(entropy),真係同熱力學說有關。呢套講法「激嬲」咗霍金,因為如果真係有關,咁咪即係話黑洞其實唔係漆黑一片,佢有溫度,會發出黑體輻射(blackbody radiation)即係光囉?呢套睇法同當時黑洞嘅理論有好大出入,而且喺廣義相對論同麥斯威爾電磁學框架(Einstein-Maxwell equations)下,黑洞有一套由惠拿(John Wheeler)等人提出未經數學證實,但學界普遍相信係啱嘅假說—黑洞無毛定理(no-hair theorem)[6,7]。

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乜話?黑洞原來係無毛,「禿頭」嘅?係吖,黑洞係「禿頭」,一個「光頭佬」嚟㗎 [sosad] 當然呢個講法只係形象化嘅比喻,個假說講嘅係無論黑洞本身一開始由乜嘢組成,你放乜嘢入去,我哋最後都淨係需要用質量、電荷同角動量呢個三個參數去完全描述一個黑洞。霍金等人提出嘅黑洞力學定律都乎合而且完全支持呢套假說,咁何來黑洞會有溫度呢個同熱力學有關嘅參數呢?為咗推番貝肯斯坦嘅講法,霍金開始研究量子力學同量子重力,考慮量子場學喺黑洞視界呢種極端重力環境下嘅情況。當然大家都知後嚟結果係霍金「認輸」,佢發現貝肯斯坦嘅睇法冇錯,黑洞真係唔係黑嘅,有溫度而且會發光,呢個就係霍金喺物理學最為人所共知嘅霍金輻射(Hawking radiation)。(詳細霍金有關黑洞同佢其他早期嘅研究有機會下一篇再講,有興趣可以先睇番小弟之前寫有提及霍金嘅文章 https://godfreyleungcosmo.wordpress.com/tag/霍金stephen-hawking/

好啦,講咗咁耐,點解黑洞會有資訊悖論問題?咁係因為霍金輻射雖然表示黑洞有溫度,會發光,甚至會因為咁損耗能量而最終蒸發,但霍金輻射係一種黑體輻射,即只係同溫度有關。而霍金輻射所對應嘅溫度亦只係同黑洞視界上嘅表面重力,即只係同黑洞質量有關。所以黑洞無毛定理仍然通用,無論你放乜入去,黑洞都淨係需要三個參數表達。換句話講即係就算我放入黑洞嘅係普通物質抑或係反物質都好,只要質量、電荷同角動量一樣,最終得到嘅黑洞完全冇分別,而且最後個黑洞仲會蒸發變成一堆一模一樣嘅輻射。咁一開始放入黑洞前嗰啲物質本身有別於質量/電荷/角動量嘅資訊去咗邊呢?呢個就係黑洞資訊悖論所提出嘅問題。呢個由理論推導出嘅結論完全違反物理學界一直相信同行之有效嘅概念—資訊守恆定理,一個即使喺量子世界一樣通用嘅定理。詳細有關呢個悖論嘅討論可以睇下面短片

(英文)

(有中文字幕)

幾十年嚟理論物理學界仍然為呢個悖論爭論𡁵,提出咗好多唔同假說解答個問題,其中一個近年興起嘅講法係「防火牆」,黑洞火牆論(black hole firewalls),有興趣了解多啲可以睇下面短片(英文)

霍金自己亦由一開始相信自己嘅運算,打賭堅信自己啱,認為資訊真係會唔見咗,變成後嚟喺2004年因為一系列根據ADS/CFT對偶(ADS/CFT correspondence)嘅發現改口認輸話資訊被保存,有方法喺黑洞出番嚟。後嚟甚至因爲黑洞火牆論,喺2014年改口話黑洞其實應該叫灰洞(grey holes),事件視界其實唔存在,只係有貌似事件視界(apparent event horizon)。有興趣可以睇下面短片(英文)

 

雖然霍金喺呢個問題上冇一套完整答案,但比起佢一系列理論,佢留低嘅呢個未解之謎可能先係佢畀物理學界最有意義同最好嘅禮物[8]。今次講住咁多,喺結尾前分享一下其他理論物理學家對霍金嘅評價同佢哋同霍金嘅一啲趣事[1,2,4]


 

最後,祝願霍金安息,如愛因斯坦同佢所願,喺另一個世界(如果存在)搵到一套可以解釋宇宙所有嘢嘅theory of everything,亦希望大家可以如佢所願記得同認識佢喺宇宙學同黑洞範疇嘅學術成就,而唔係淨係記得佢嘅勵志故事同一系列科普演出。

 

引伸延讀:

[1] https://amp.theguardian.com/science/2018/mar/14/stephen-hawking-obituary

[2] https://www.preposterousuniverse.com/blog/2018/03/16/stephen-hawkings-scientific-legacy/#more-13150

[3] https://en.m.wikipedia.org/wiki/Wick_rotation

[4] https://www.theatlantic.com/science/archive/2018/03/stephen-hawking-sean-carroll-physics-airport/555764/

[5] https://www.quora.com/What-is-imaginary-time-and-how-does-it-work

[6] https://www.quora.com/What-is-the-No-Hair-Theorem

[7] https://en.m.wikipedia.org/wiki/No-hair_theorem

[8] https://www.nytimes.com/2018/03/15/opinion/stephen-hawking-quantum-gravity.html

白話文版:

https://medium.com/@godfrey.leung.cosmo/%E6%88%91%E8%A6%8B%E9%81%8E%E9%9C%8D%E9%87%91-%E6%88%91%E7%9C%9F%E7%9A%84%E8%A6%8B%E9%81%8E-%E6%B7%BA%E8%AB%87%E9%9C%8D%E9%87%91%E5%AD%B8%E8%A1%93%E6%88%90%E5%B0%B1-%E4%B8%80-e69dce1b158e

 

 

 

主宰宇宙的黑暗勢力 (Dark force of the Universe)

(credit: 《Star Wars》)

“The Force will be with you… always.” (引述自《星球大戰》電影系列)

星戰系列又嚟喇,Star Wars: The Last Jedi 上年年尾上映咗,大家有冇去戲院「朝聖」呢?(小弟雖然貴為一介科學界中嘅小螺絲,但本人其實並唔係科幻小說或電影嘅狂熱份子,本人對星戰系列興趣唔大)

細個睇卡通片或大部分電影,永遠都係邪不能勝正,光明必定最終打倒黑暗呢套王道故事設定結局。不過呢套價值觀睇嚟係我地嘅社會唔太適用,尤其喺強國/小人當道嘅XX世界。但原來唔止咁,更甚嘅係原來連我哋身處看似「客觀公平」嘅浩瀚無垠^嘅宇宙都唔奉行呢套價值觀,而家真正統治𡁵世界嘅其實並唔係你同我呢班微不足道嘅人類,亦唔係光甚至一切現時物理學所熟識嘅東西,而係一股黑暗嘅「邪惡」能量—暗能量(dark energy)呀!

^宇宙係唔係無垠正確講其實冇人知係唔係。愛因斯坦都話:「有兩件事情是無限的,這宇宙與人類的愚蠢。我不太確定前者。」(“Two things are infinite: the universe and human stupidity; and I’m not sure about the universe.”)

宇宙膨脹𡁵,但係以乜嘢速度?加速𡁵定減慢𡁵?(Our universe is expanding, but at what rate? Is the expansion rate slowing down or accelerating?)

唔少人都聽過大爆炸理論,知道我哋而家宇宙起初係由無限細、密度無限大嘅一點「爆出嚟」(其實咁講唔啱,因為相對論喺接近黑洞中心呢類重力咁龐大,咁極端情況下嘅奇點singularity時會失效,唔能夠再正確描述現實物理狀態係點。所以正確講係冇人知現實應該係點。詳細有機會下次再詳細講),而且不停膨脹𡁵。之但你又知唔知宇宙以乜嘢速度膨脹𡁵?演化過程中膨脹速度又有冇改變過?

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(Credit:NASA and ESA)

宇宙嘅膨脹速度其實唔係固定永恆不變,而係取決於佢本身內含各種唔同「物質」嘅各自嘅特性同佢哋佔宇宙整體能量密度嘅百分比多少。唔同幾何結構,唔同組成成份嘅宇宙佢哋嘅演化可以好唔同,有啲可能膨脹過程會隨時間減慢甚至到後嚟變成收縮;有啲就可能一直唔停咁加速膨脹𡁵,好似上面幅圖咁。

根據觀察結果,現時宇宙學嘅公認標準模型,其實宇宙膨脹速度一直都改變𡁵,過去好早期仲曾經以超光速膨脹*(根據暴脹論 cosmic inflation)過𠻹!咁宇宙而家膨脹速度係加速定減慢𡁵呢?如果簡單用牛頓萬有引力去睇,重力作為吸引力,而且影響範圍無限遠,所有物質都會感受到同樣重力,咁推論去諗,宇宙膨脹速度只會變得愈嚟愈慢,甚至轉方向變做收縮,最終導向宇宙大崩塌(Big Crunch),變番做一點密度無限大嘅奇點。不過事實又係唔係咁簡單呢?

*呢度超光速膨脹冇違反相對論,因為相對論講嘅係物質同訊息嘅傳遞速度上限為光速,但時空嘅膨脹速度冇咁嘅限制

宇宙其實唔只膨脹o緊,佢而家仲係加速膨脹 (Our universe is not just expanding, its expansion rate is accelerating now)

(Credits: quickmeme.com)

上世紀當愛因斯坦發表廣義相對論時,因當時嘅主流觀念影響,佢起初堅信宇宙係靜止唔郁而唔係膨脹/收縮𡁵。當然大家都知道後嚟結果係一班以費德里曼(Alexander Friedmann)為首苦心鑽研宇宙喺相對論框架下點樣演化嘅一眾物理學家佢哋提倡宇宙係膨脹𡁵呢套主張先至啱,並且經天文學家哈勃(Edwin Hubble)等透過觀察星系紅移驗證。

同牛頓萬有引力嘅重力理論唔同,相對論需要考慮埋時空本身嘅幾何結構同物質嘅能量同壓力密度,會令重力變成排斥力嘅物質/時空結構喺相對論框架下理論上係存在嘅。雖然係咁,但絕大部分物理學家所認知同觀察到嘅物質(除咗一樣叫真空能量vacuum energy嘅嘢)嘅特性都唔屬於呢類,直至上世紀未前,亦未有觀察結果指宇宙膨脹速度有加速嘅跡象,一般都相信宇宙嘅膨脹速度係會一直隨時間逐漸減慢,而且變為收縮甚至最終大崩塌,就好似用牛頓萬有引力推論咁。

不過喺上世紀90年代,天文學家舒密特(Brian P.Schmidt)利爾斯(Adam G.Riess)等率領研究超新星嘅團隊透過觀察一堆1a型號超新星(type 1a supernova )— 一種有標準模型,由一粒喺雙星系統(binary system)中嘅白矮星(white dwarf)因為同另外一粒星體合併而誕生,光度足以媲美星系而且屬於標準燭光(standard candle)#嘅超新星,發現喺我哋「附近」—宇宙紅移(cosmological redshift,z)好細並細於1(呢度講嘅「附近」係相對於宇宙宏觀大尺度,紅移 z~0.1其實講𡁵十億光年咁上下距離 [offtopic] 宇宙學上咁叫低/細紅移,不過天文學中叫「高」紅移[sosad]),亦即係宇宙時序上屬近年嘅星系根據多普勒效應(Doppler shift)推算出嘅遠離速度同距離並唔係簡單線性關係。呢啲超新星嘅光度亦比起身處喺一個減慢膨脹中宇宙嘅超新星光度暗,呢個觀察結果似乎指向一個加速膨脹𡁵嘅宇宙,好似下面幅圖表所表達咁。

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(Credits: University of Alberta, https://sites.ualberta.ca/~pogosyan/teaching/ASTRO_122/lect30a/lecture30a.html)

 

之後亦有更多獨立、唔同類型用其他大尺度結構如宇宙微波背景輻射(Cosmic Microwave Background, CMB)重子聲學振盪(baryon acoustic oscillations, BAO)等觀察結果推論出嘅模型同樣指向宇宙係加速膨脹𡁵呢個結論,確立咗宇宙現時充斥住一種會令膨脹加速叫暗能量嘅宇宙學標準模型。上面提到涉及1a型超新星呢個宇宙學發現後嚟喺2011年獲頒發諾貝爾物理學獎。

#標準燭光係天文學一術語,同蠟燭冇關。呢個詞彙係指一種我哋知道佢理論上本身有幾光,可以用嚟同測量出嘅光度對比從而推算出佢距離我哋幾遠嘅天體

咁暗能量係乜?(What is dark energy?)

好啦,講咗咁耐,你可能會問咁究竟暗能量係乜?好老實咁講,其實冇人知係乜,對呢樣嘢物理學家知道嘅甚至比暗物質更少。呢個詞只係宇宙學家對一種會導致而家宇宙加速膨脹,由早期減𡁵速變做「近年」加速(如下圖)嗰嘢嘅統稱。嗰名叫做「暗」能量,某程度上只係代表物理學家其實唔係好知嗰啲嘢係乜,「暗」物質(dark matter)都係 [sosad] 當然,暗能量叫得「暗」,都係同暗物質一樣同光或其他已知物質好似組成原子嘅重子咁冇乜相互作用,唔會自己發光,我哋暫時只係靠天文/宇宙學涉及重力嘅間接觀察知道佢哋嘅存在。

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(Credits: University of Oxford, http://philosophy-of-cosmology.ox.ac.uk/dark-energy.html)

 

雖然都係叫「暗」,「睇唔到」,不過暗能量同暗物質好唔同。宇宙同物理學家之所以叫暗能量做「能量」,係因為呢樣嘢嘅特性同所有已知嘅物質(包括暗物質)完全唔同,用標準流體去模擬佢哋喺宇宙大尺度上嘅分佈時,暗能量嘅壓力密度P同能量密度ρ有下面嘅關係

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呢度w狀態方程(equation of state)。根據相對論,能夠令重力變成「排斥力」,令宇宙加速膨脹ω必須要少於-1/3,亦即上面暗能量嘅特性。由於呢個特性太獨特,同我哋對物質嘅認知好唔同 (普通非相對論性non-relativistic物質,如溫度好低行得好慢嘅氣體/粒子,w=0,暗物質亦屬呢類; 光呢類相對性嘅物質,w則為1/3),為咗強調同區分所以宇宙學家叫暗能量做「能量」。

理論上,最「簡單」能夠解釋同乎合暗能量特性嘅係宇宙常數(cosmological constant),一樣愛因斯坦自認為(好似係)自己一生最大錯誤嘅嘢。愛因斯坦自認好錯係因為佢本身加呢樣入模型嘅目的係為咗令宇宙靜止唔郁,一個後嚟被證實係錯嘅睇法。宇宙常數係一種充斥喺時空入面任內角落,能量密度唔會隨時空膨脹/收縮而改變,同真空能量有密切關係嘅一樣嘢。因為模型「簡單」,參數只有一個,所以宇宙常數亦係暫時宇宙學標準模型ΛCDM對暗能量嘅「公認」解釋。呢度小弟強調「簡單」同「公認」係因為宇宙常數呢個解釋其實會帶嚟更多問題,宇宙學上統稱叫宇宙常數問題(cosmological constant problem),好似同用量子場學推算出嚟真空能量數值差天共地(觀察數值同理論差10^-120倍)等等,有興趣了解多啲可以睇下面短片(英文),下次有機會再詳細講
https://youtu.be/bHqkl51KzmM

其他有可能解釋到暗能量係乜嘅嘢仲包括「第五元素」(Quintessence)改良重力模型(modified gravity)或大尺度空洞模型(big void models),不過呢啲模型一樣有各自嘅問題(當中尤其空洞模型帶嚟嘅問題最大)而且亦未有觀察證據顯示佢哋係乜,暫時暗能量係乜仲係現代物理/宇宙學未解嘅最大疑案之一,宇宙嘅未來會點仲係一個未知數呀!(PS: 「第五元素」唔係指化學/五行元素,同嗰套科幻電影冇關 [banghead] 呢度指嘅係一種會產生有別於重力、強核力、弱核力、電磁力嘅第五種力嘅物理純量場 scalar field

“May the force be with you”,今次講到呢度,下次有機會再講。
https://youtu.be/G2nJlE9CNeo

 

[offtopic] 其實喺理論物理學上愛因斯坦加入宇宙常數根本冇錯,就算如果後嚟我哋冇發現宇宙加速膨脹嘅都係咁話。因為理論物理學設計理論模型時最重要講嘅係理論嘅對稱性(symmetry),任何乎合對稱性嘅數項都應該加入理論模型入面。廣義相對論模型嘅核心係微分同胚(diffeomorphism)呢種對稱性,宇宙常數係僅有少數簡單兼且乎合呢個對稱性嘅數項。

 

引伸延讀:
《Dark energy and the Big Rip》by Sixty Symbols(英文短片)
https://youtu.be/IJYDcXZMe9c
《We have no idea: a guide to the unknown universe》 by Jorge Cham and Daniel Whiteson
http://sa.ylib.com/MagArticle.aspx?Unit=newscan&id=472

白話文版:

https://medium.com/@godfrey.leung.cosmo/%E4%B8%BB%E5%AE%B0%E5%AE%87%E5%AE%99%E7%9A%84%E9%BB%91%E6%9A%97%E5%8B%A2%E5%8A%9B-dark-force-of-the-universe-c2a15824e9dd

物理係乜?可以當飯食?(What is physics?)

曾幾可時,仲係小孩子充滿好奇心嘅你/妳,有冇諗過點解天空係藍色,宇宙有冇盡頭,時間冇開始同終結,時空旅行可唔可行?我哋身為人類,自誇萬物之靈,甚至自以爲我哋係獨特,「萬中無一」,但究竟我哋對自身身處嘅世界,宇宙又有幾了解呢 ?_?

(credit: mathfunny.com)

面對呢啲問題,為咗搵答案,了解自然世界萬物嘅運作,人類創立咗科學,而芸芸眾科學學科入面歷史最悠久嘅梗係要數物理學啦。物理學嘅英文名稱physics由拉丁文physica演變而嚟。physica一詞源自古希臘,意指「自然」,後引申為自然世界嘅一切真理(但唔包括人為事物,因為人類係「自以為是」,喜歡同自然作對,不按邏輯行動嘅生物,好似係[sosad])。中文「物理」一詞就可追溯至戰國時代佚書《鹖冠子·王鈇篇》(好似係),原意指一切事物嘅真理。隨住後嚟17世紀科學革命,物理學同自然哲學「 搞離婚」,成為獨立嘅學術領域,而家物理一詞就普遍指這門研究宇宙一切物質,能量嘅本質與性質,及它們間相互作用嘅自然科學。物理學嘅研究涉及一切自然世界、宇宙嘅(根本、客觀嘅)真理,範疇由下至工程學,氣象學,觀星,上至宇宙學,物質最細最根本嘅結構,組成成份,世界嘅起源等等。物理學可以講係世界上最古老嘅學科之一,亦係自然科學中最基礎,最根本嘅學科,而且應用廣泛,深深影響住其他學科同人類社會文明,話佢係「科學之母」都唔過份。

而家周圍都見到嘅平板電視、手提電話、電腦,生活上習以為常,甚至賴以為生嘅互聯網,全球定位系統(GPS)等等,佢哋嘅出現都係歸功於物理學嘅研究同一眾物理學家們嘅努力㗎!(冇錯,互聯網嘅誕生某程度都係因為CERN嘅物理學家 [slick] 雖然只係間接原因喇![2])因為咁,物理唔應該好似中文同音異字「勿理」咁,唔應該只係中學公開考試用嚟測試,分辨學生能力,幫學生分等級嘅工具,佢不單止同我哋嘅生活息息相關,推動住人類文明嘅進步,仲係我哋理解世界運作同點樣與大自然溝通共處最有效嘅工具。

雖然物理的確可以帶俾我哋好多實質嘅好處,不過小弟暢談物理,希望大家認識物理最重要嘅原因當然係因爲佢好玩,有趣啦![slick] 就好似著名物理學家費曼Richard Feynman所講:「物理學就好似做愛咁,雖然佢可以帶嚟一啲實際嘅成果,但咁並唔係點解我哋喜歡做嘅原因。」(’Physics is like sex: sure, it may give some practical results, but that’s not why we do it .’)

物理學=數學?(Physics=mathematics?)

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(日劇《神探伽利略》片尾曲劇照)

上面小弟誇口話物理學係「科學之母」,或者你會問「咁數學呢?物理學唔係有好多令(不少)人頭痛,眼花撩亂嘅數學符號同公式咩?數學唔係更重要同更根本咩?」冇錯,物理學係就係有好多必然避免唔到嘅數學喺入面,但正確嚟講物理學唔係數學,數學亦唔係科學,雖然兩者關係係非常之咁密切。數學其實係文科,就算而家同歷史上都係,唔少著名頂尖大學好似普林斯頓大學咁,數學系某程度上係計入文學院,喺數學系畢業嘅佢地會叫文學士(B.A., bachelor of arts),而唔係叫理學學士(B.Sc, bachelor of science)。數學其實正確嚟講係一種語文,數字同運算符號就好似字母,重點唔係算術或運算;佢可以話係一門藝術,一套又一套嘅理論就好似畫家令人賞心悅目嘅畫作,音樂家扣人心弦嘅樂章,而且真正嘅數學家大部份都係不被重視,前途暗淡要「乞食」…(雖然呢種「另類」嘅美唔係人人都能可以領會到,就算係小弟呢個偽.數學家都唔係好領會得到,好似係)。
不過呢種另類,客觀著重邏輯嘅語文,正正就係用嚟了解自然世界,宇宙最有效嘅工具,所以物理學當然避免唔到會有好多數學理論同公式。物理學雖然都好著重理論嚴謹性,但佢更著重嘅係探求現實世界嘅真相,理論可唔可以準確咁描述同預測自然世界嘅事物。就算理論,公式幾咁靚同簡單,但如果佢哋唔可以用嚟描述世界,同現實連繫起嚟,物理學家對佢哋都唔會太有興趣。相反,真正嘅數學係唔在乎現實世界係點,理論可唔可以應用到,可唔可以用嚟描述現實世界。數學理論合唔合乎邏輯(唔係「中國邏輯」),「靚唔靚」先係重點。

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(credit: xkcd)

數學家其實某程度上係「神」,佢哋做嘅係先設定同寫低一啲類似「定律」同「規則」,叫公理 (axioms)嘅嘢,然後研究喺呢堆規則框架下嘅一切可能性、現象同定理。就好似「中二病」上身,《死亡筆記》嘅夜神月咁「自以為」係高高在上嘅造物者,設定心目中「理想」世界背後嘅規則,然後根據這些規則「玩弄」佢哋世界裡面嘅所有嘢 [sosad]

 

雖然數學唔係科學,但佢卻絕對係所有科學都夢昧以求想「追到手」嘅男/女神!畢竟最有效描述同預測(自然)世界運作嘅始終都係數學。至於點解我們身處嘅世界咁鍾意數學就冇人知啦!能貫徹了解物理學同數學真締嘅人其實少之又少,著名弦論物理學家愛德華.維藤 Edward Witten係公認嘅少數。真正明白物理同數學本質嘅人係唔會講出「數學係科學」,「物理係數學」呢啲說話。([offtopic] 但咁唔係指數學對科學唔重要,學物理,科學可以忽視數學。小弟嘅拙作好少數學公式只係因為小弟目的主要係想引起大家嘅興趣,包括嗰啲冇學過物理,深造過數學嘅人。科普文從來都唔係學嘢嘅捷徑,想真真正正咁學同深入認識物理最好始終係去上堂同睇番教科書)要簡單明白兩者嘅分別,你只要去圖書館或者上網搵吓一本物理學及同數學嘅大學教科書或研究論文睇一睇就一目了然 [slick] (即使學過一啲數學皮毛嘅小弟,大部份數學論文連佢哋嘅題目都睇唔明[sosad])

有興趣想了解多啲物理學家同數學家點睇物理同數學嘅分別可以睇吓下面嘅短片(英文)

最後送番首神探伽利略(同數學有關嘅,好似係)插曲作結

今次講住咁多先,下次有機會再講。

引申延讀:

[1]《Is Mathematics a science?》http://euclid.trentu.ca/math/sb/misc/mathsci.html

[2] https://home.cern/topics/birth-web

 

 

 

[白話文版]

甚麼是物理?可以吃的嗎?

曾幾可時,還是 (或現在尚是) 小孩子充滿好奇心的你/妳,有沒有去思考過為何天空是藍色,宇宙有沒有盡頭,時間有沒有開始和終結,時空旅行可不可行呢?我們身為人類,自誇萬物之靈,甚至自以爲我們是獨特,「萬中無一」的,但究竟我們對自身身處的世界,宇宙又有多少了解呢?

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(credit: mathfunny.com)

面對這些問題,為了尋找答案,了解自然世界萬物的運作,人類創立了科學,而芸芸眾科學學科中歷史最悠久的必然要數物理學了。物理學的英文名稱physics由拉丁文physica演變而來。physica一詞源自古希臘,意指「自然」,後引伸為自然世界的一切真理(但不包括人為事物,因為人類是「自以為是」,喜歡與自然作對,不按邏輯行動的生物,好像是[說笑而已])。中文「物理」一詞則可追溯至戰國時代佚書《鹖冠子·王鈇篇》(好像是),原意指一切事物的真理。隨著後來17世紀科學革命,物理學開始與自然哲學分家,成為獨立的學術領域,現在物理一詞則泛指這門研究宇宙一切物質,能量的本質與性質,及它們間相互作用的自然科學。物理學的研究涉及一切自然世界、宇宙的(根本、客觀的)真理,範疇由下至工程學,氣象學,觀星,上至宇宙學,物質最細最根本的結構,組成成份,世界的起源等等。物理學可謂是世界上最古老的學科之一,亦是自然科學中最基礎,最根本的學科,而且應用廣泛,深深影響著其他學科與人類社會文明,說它是「科學之母」也不為過。

現在隨處可見的平板電視、手提電話、電腦,我們生活上習以為常,甚至賴以為生的互聯網,全球定位系統(GPS)等等,它們的出現也是歸功於物理學的研究與一眾物理學家們的努力喔!(沒錯,互聯網的誕生也是因為CERN的物理學家,雖然只是間接原因啦![2])因此,物理,它不應該如中文同音異字「勿理」般,不應只是中學公開考試用於測試,分辨學生能力,為學生分等級的工具,它不僅與我們的生活息息相關,推動著人類文明的進步,更是我們理解世界運作及如何與大自然溝通共處最有效的工具。

雖然物理的確能帶給我們很多實質的好處,推動社會和科技進步,不過小弟暢談物理,希望大家認識物理最重要的原因當然是因爲它有趣啦!正如著名物理學家費曼Richard Feynman所言:「物理學就如同性愛一樣,儘管它們可以帶來一些實際的成果,但那並不是我們喜歡做它們的原因。」(’Physics is like sex: sure, it may give some practical results, but that’s not why we do it .’)

物理學等於數學?

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(日劇《神探伽利略》片尾曲劇照)

本章開初小弟誇口直言物理學是「科學之母」,或許你會問「那數學呢?物理學不是涉及很多令(不少)人頭痛,眼花撩亂的數學符號及公式嗎?數學不是更重要及更根本嗎?」沒錯,物理學的確包含,並且必然避免不了有很多數學在其中,但正確來說物理學不是數學,數學亦不是科學,雖然兩者關係是非常的密切。數學其實是文科,現在以及歷史上亦然,不少著名頂尖大學好像普林斯頓大學等,數學系某程度上是被算進文學院的,從數學系畢業的叫文學士(B.A., bachelor of arts),而不是叫理學學士(B.Sc, bachelor of science)。數學其實正確來說是一種語文,數字與運算符號如字母,重點不是算術或運算;它甚至算得上是一門藝術,一套又一套的理論就仿如畫家賞心悅目的畫作,音樂家扣人心弦的樂章,而且真正的數學家大部份都是不被重視,生活拮据的…(雖然這種「另類」的美並不是人人都能領會得到,即使如小弟這個偽.數學家也不能完全領會,只懂嘖嘖稱奇,好像是)。

不過這種另類,客觀著重邏輯的語文,正正就是用來了解自然世界,宇宙最有效的工具,所以物理學當然避免不了涉及很多數學理論及公式。物理學雖然也很著重理論嚴謹性,但它更著重的是探求現實世界的真相,理論是否能準確描述並預測自然世界的事物。即使理論,公式是如何的美觀,簡約,但如果它們不能用於描述自然世界,與現實連繫起來,物理學家對它們也大多是不屑一顧。相反,真正的數學是不會在乎現實世界是怎樣,理論是否有應用,能否用於描述現實世界。數學理論合不合乎邏輯(但不包括「中國邏輯」),「美」與否才是重點。

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(credit: xkcd)

數學家其實某程度上是「神」,他們做的是先設定及寫下一些類似「定律」與「規則」,叫公理 (axioms)的東西,然後研究在這些規則框架下的一切可能性、現象及定理。就有如「中二病」上身,如《死亡筆記》的夜神月般「自以為」高高在上的造物者般,設定心目中「理想」世界背後的規則,然後根據這些規則「玩弄」他們世界裡的一切東西。

MATHEMATICS IS NOT SCIENCE BUT MATHEMATICS IS THE QUEEN OF ALL SCIENCE

雖然數學不是科學,但它卻絕對是所有科學都夢昧以求想「追到手」的男/女神喔!畢竟最有效描述及預測(自然)世界運作的語言始終是數學。至於何解我們身處的世界那麼喜歡數學就沒人知啦!能貫徹了解物理學及數學真締的人其實少之又少,著名弦論物理學家愛德華.維藤 Edward Witten是公認的少數。真正明白物理與數學本質的人才不會說出「數學是科學」,「物理是數學」這些說話。(PS: 但這並不是指數學對科學不重要,學物理,科學可以忽視數學。小弟拙文裡很少引用數學公式只是因為小弟目的旨在於引起大家的興趣,包括那些沒接觸過物理,深造過數學的人。科普文從來也不是學知識的捷徑,想真真正正地學與深入認識物理最好還是回去上課或看教科書吧!)要簡單明瞭兩者的分別,你只要去圖書館或網上找找一本物理學及數學的大學教科書或研究論文看一看便一目了然了。

有興趣想了解多些物理學家、數學家怎看物理與數學的分別可以看一下以下短片(英文)

最後送首神探伽利略(同數學有關嘅,好像是)插曲作結

叮噹法寶物理原理大解構 [四] (The Physics Behind Doraemon Gadgets IV)

正所謂「一日不見,如隔三秋」,何況係一季?等咗咁耐,終於又嚟到《叮噹法寶物理原理大解構》系列嘅時候啦!今次繼續同大家探討叮噹法寶嘅背後物理原理同喺現實世界入面嘅可行性 [yeah]

如果電話亭 (もしもボックス)

 

(圖片來源:https://chinesedora.com)

如果電話亭,又名假如/如意/XX…電話亭,名列日本人叮噹最受歡迎法寶第八名。著名常見法寶之一,喺《大雄的魔界大冒險》等大長篇都有登場,但個電話亭喺《大雄的魔界大冒險》中被媽媽抌咗之後,漫畫中就再冇出場過,好似係。

呢個電話亭係一種類似實驗室(?)嘅道具,俾你體驗吓任何FF嘅情況甚至係幻想中嘅世界。只要走入個電話亭對住聽筒講「如果xxx」,電話亭就會帶用家去相應嘅平行世界。根據網上記載(非官方?)佢設定上裝有平行空間探測天線、次元記憶發生裝置、空間移動發生引擎、能量儲藏裝置同空間防重裝置。而且入面嘅電話除左裝有撥號器同聽筒,仲裝有平行計算機。(PS:全部都係唔太清楚係乜但聽落幾有計嘅配件,好似係[sosad])

一件咁神奇、頂級、超卓嘅道具,喺現實物理學世界究竟可唔可行呢?平行世界又存唔存在呢?以下等小弟幫大家解答吓啦!

平行宇宙存唔存在?(Do parallel universes exist? )

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(取自叮噹單行本32卷第二話)

要討論如果電話亭可唔可行,首先梗係要搞清楚平行世界現實中存唔存在先啦!平行世界(parallel universes),一個科幻小說老是常出現嘅元素,通常意指一個平行於「現實」世界,同我地身處嘅宇宙冇關嘅世界,入面嘅歷史、物理定律可以好唔同。換個簡單啲嘅講法,某程度上可以話同一個FF出嚟嘅世界冇分別。

作為一個「認字特警」,從嚴謹字面定義上講,叫得「平行」,即係各平行宇宙間喺整個時空任何時刻都冇交匯點。如果有方法(不論自然發生定人為)可以喺呢啲宇宙間穿梭,咁亦即係宇宙間出現交匯點,唔再係平行啦!所以物理學界其實係唔會用平行宇宙呢個詞彙,而會用多重宇宙(multiverse)去形容呢啲宇宙或者世界。喺數學同科學,尤其物理入面,釐清定義係好重要,始終數學家同科學家唔同XX政府官員,佢地嘅龍門係唔識郁架,好似係 [sosad] 下次同物理學家(尤其小弟)討論時記得改口用偽‧平行宇宙或者多重宇宙啦 [slick]

真‧平行宇宙存唔存在呢個係純哲學問題,不過叮噹同其他科幻小說講嘅好明顯係偽‧平行宇宙,探討呢類多重宇宙喺真實世界存在嘅可能性仲算係物理學上嘅範疇。

量子力學未解之謎—量子力學正確嘅詮釋 The missing mysterious bits in quantum mechanics, the interpretation of quantum mechanics)

喺探討多重宇宙可能性前,小弟想「離題」回帶講返少少量子力學(quantum mechanics)先 (兩者當然有關係啦,請耐心睇落去 [slick])。

量子力學發表咗接近一個世紀,雖然已經通過咗好多嚴格嘅實驗驗證,好似小弟之前提過著名嘅雙縫實驗(double-slits experiment)貝爾不等式實驗(Bell’s inequality experiment) 咁(除咗嗰啲XX偽科學如量子磁鐵同量子傳心外,因為嗰啲根本同量子力學冇關),理論根基已經很難動搖,但好老實講,物理學家咁多年都仲未搞清楚佢真正嘅本質,即係究竟怎樣詮釋呢套咁「違反常識」嘅理論先啱。

量子力學理論入面最令物理學家頭痛同費解嘅要數波函數坍塌(wavefunction collapse)—一個幾詭異而且成日被外行人誤解嘅現象。

(credit: cartoonstock.com)

波函數(wavefunction)係量子力學入面嘅一樣「工具」,用嚟描述粒子/波喺量子世界嘅量子形態,某程度上你可以將睇成喺普通經典牛頓力學入面好似位置、動量呢啲用嚟描述粒子形態嘅物理數值。佢會根據薜丁格方程式(Schrodinger’s equation)嘅設定隨時間演化。

點解要括住「工具」?因為波函數同大家熟識嘅經典物理學中描述系統形態嘅物理量有一點好唔同,佢唔係直接可以被觀察或測量到嘅嘢。佢其實係一個含虛數嘅函數,而佢絕對值(modulus)嘅平方代表住個量子系統喺某形態出現嘅機率密度(probability density)。呢啲經運算後得出嚟嘅機率密度先係可以直接同實驗對比嘅嘢。所以究竟波函數係真實存在,本身有物理意義嘅嘢定真係只係物理學家為咗運算而發明嘅數學工具呢個問題至今仍然未有定論 [banghead]  對於呢個問題,小弟會變身「騎牆派」食花生,持中立態度,始終呢個問題某程度上已經涉及哲學層面,好似係。

好啦,講返波函數坍塌。呢個現象係指當一個處於態疊加狀態 (即同一時間係到彈出彈入) 嘅量子系統喺被「觀察」後,佢嘅形態就會被固定落嚟,就算之後你再「觀察」佢幾多次結果都唔會再變,雖然喺「觀察」前仲喺態疊加狀態觀察結果係講機會率,有唔同可能性。小弟特別括住「觀察」係因為物理學家講嘅「觀察」其實係指一個量子系統同一個宏觀世界系統間發生相互作用,而唔係真係指需要一個人或有意識嘅物種去睇個系統 [banghead] 另外上面亦假設咗個量子系統喺被「觀察」後再冇其他相互作用影響佢。

波函數坍塌喺量子力學入面就好似人大釋法、搬龍門咁(#kill #kill),係額外加上去嘅設定,本身理論好似薜丁格方程式等都冇描述有呢個現象。物理學家仲研究o緊呢個現象詳細理論上係點嚟,係量子力學入面尚未有完整定論嘅最大謎團之一。點樣解釋呢個現象亦同量子力學嘅詮釋有關,而詮釋量子力學某程度上就令物理學家開始認真探討多重宇宙存唔存在呢個問題。

現時比較主流嘅量子力學詮釋有哥本哈根詮譯(Copenhagen interpretation) 多重世界詮譯 (many worlds interpretation)。哥本哈根詮釋之所以以哥本哈根命名,係因為呢套詮釋係上世紀量子力學理論建立初期時,最先由量子力學之父(s)波爾(Niels Bohr)海森堡(Werner Heisenberg)喺哥本哈根一齊研究量子力學時提出。呢套詮釋亦係歷史最悠久*,教科書最常用嘅一套詮釋。佢指量子系統喺被「觀察」時個系統嘅形態都會突然由態疊加狀態隨機率變成其中入面嘅一個形態並固定落嚟,只有嗰個剩番嘅固定形態係真實存在,另外嗰啲之前同樣喺態疊加狀態入面嘅形態會被消滅從此消失。至於點解係咁就暫時仲未有一套詳細合理嘅解釋,雖然可能係同量子退相干 (quantum decoherence) 有關。

*不過請記住科學唔係政治,唔係投票,歷史最悠久唔代表一定啱

 

另外一套都屬主流嘅多重世界詮釋就係由艾華雷特 (Hugh Everett)上世紀1957年提出。唔同哥本哈根詮釋,呢套詮釋話理論公式就係一切,冇需要「搬龍門」喺薜丁格方程式外額外強加一套定律入去。每次「觀察」處於態疊加狀態嘅量子系統時,世界只係根據可能性分裂出好多唔同嘅世界,而觀察者只係被帶往其中一個分裂出嚟嘅世界而已。如果量子力學真係好似呢套詮釋咁運作,多重世界就可能真實存在,如果電話亭同叮噹嘅(偽)平行世界論或者真係有機會係啱同實現到啦 #love#

或者你會問突然根據可能性多咗(無限)咁多個世界出嚟,咁多重世界唔係違反咗能量守恆定律咩?多重世界詮釋其實係話呢啲多出嚟嘅世界係喺原先嘅世界分裂得出嚟,唔係唔知係邊度突然變啲世界出嚟。另外守恆定律喺物理學入面從來都唔係最根本嘅真理,理論同公式嘅數學對稱性先係。能量守恆定律其實係由物理學理論喺時間軸上嘅對稱性推論出嚟,而量子力學入面「觀察」呢個操作違反咗時間對稱性,所以亦即會違反能量守恆定律,世界變少(或多)咗嘢其實係冇問題架!

詳細有關量子力學嘅詮釋討論可以睇下面短片(英文)

https://www.youtube.com/watch?v=ZacggH9wB7Y

另外物理學上其實對多重宇宙都有好多唔同嘅演繹同定義,甚至可以細分成幾種唔同級別。不過詳細有關多重宇宙嘅深入討論留番下次有機會先再講啦 [slick]

 

最後送首歌畀大家,祝大家中秋節快樂!!

https://www.youtube.com/watch?v=Pb8PyFxwmsA

今次講住咁多先,下回待續 #bye#

 

引伸延讀︰

[1] https://godfreyleungcosmo.wordpress.com/2014/09/10/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%B8%EF%BC%8C%E7%9C%9F%E5%AF%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8%E7%9A%84%E7%95%B0%E4%B8%96%E7%95%8Cquantum-mechanics-a-weird-world-that-exists-in-reality/

[2] https://godfreyleungcosmo.wordpress.com/2017/02/07/%E6%89%80%E6%9C%89%E5%98%A2%E9%83%BD%E4%BF%82%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%B8%E7%B3%BB%E5%88%97-%E5%8F%88%E4%BF%82%E7%B2%92%E5%AD%90%E5%8F%88%E4%BF%82%E6%B3%A2%E5%8D%B3%E4%BF%82%E9%BB%9E-what/

[3] https://www.youtube.com/watch?v=Ywn2Lz5zmYg

[有趣數學系列] 究竟乜嘢係e?(What is e?)

(credit: geeky T-shirt design by Tostadora)

e 係乜嘢?咪係英文字母入面第五個囉!:O) 都啱嘅,不過小弟今日想講嘅係另外一種「文科」—數學入面嗰「字母」e,又叫歐拉常數 Euler’s number* : )
*以「神人」瑞士數學兼物理學家里昂哈特.歐拉(Leonhard Euler)命名嘅數字同理論其實仲有好多好多,請唔好搞亂e同另一個「字母」歐拉-馬斯卓朗尼#常數 γ (Euler-Mascheroni constant)
#唔係踢波個馬斯卓蘭奴 [sosad]
e呢個「數學字母」大家高中讀數或者見過 (?_? 香港而家DSE 好似只有額外加修課程先有讀,喺必修課程之外,唔同以前理科班CE/A-level屬接近必修課程。真係唔知而家仲有幾多學生會讀…),但除左知道佢係一個唔循環、無限長、寫唔盡,數值大概為2.7182…嘅小數外,大家對e呢個無理數又有幾多認識同了解呢?π 大家就知係圓周率,同計圓形嘅圓周、面積等有關,咁e呢?點解要無端端「發明」一個「字母」嚟代表呢個無理數?下面小弟呢個「偽.數學家」會嘗試解答吓呢啲問題 [slick]

歐拉常數嘅「生平」(A brief history of e)

喺開始講乜嘢係e同佢嘅應用前,小弟想先介紹吓歐拉常數嘅「生平」[slick] 歷史上第一次「提到」e呢個常數嘅其實係另一位數學家約翰‧拿皮爾(John Napier)。佢喺1618年出版關於對數(logarithm) 嘅數學著作入面一個附錄中有個表寫咗一堆數佢地自然對數(natural logarithm)嘅值。點解要括住「提到」?因為佢其實冇明確指出e呢個數同對數嘅base係乜,而且喺嗰時啲人對對數嘅概念同而家好唔同。雖然之後e喺對數相關研究文獻中都有被間中應用同「提到」,但真正發現e呢個數嘅公認係瑞士數學家雅各布·伯奴利(Jacob Bernoulli)。佢喺1683年去銀行時無意中因為嘗試計算自己户口有幾多錢時發現嘅 (去銀行嗰part小弟9up作出嚟 =p)。歐拉常數e係同極限和無限有關,數學上定義係下面公式

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後嚟數學家歐拉做咗唔少同呢個無理常數有關嘅研究,包括搵出同證明呢個無理常數嘅冪級數(power series)係咩,用呢個無理常數去表達虛數(imaginary number) 等,同時間佢為左方便書寫同通訊開始用字母e去代表呢個無理常數。由嗰時開始用e代表呢個數逐漸成為標準同潮流,亦因為咁e呢個數後嚟被命名為歐拉常數 (雖然後人好似唔多重視同留意歐拉嘅事蹟同貢獻,仲攞佢嚟講笑,好似係,見下圖 XD)

(credit: SMBC comics)

好啦,講番數學,e呢個數其實幾特別,同其他數學「字母」π或者黃金比例φ (golden ratio)唔同,佢本身定義上係同幾何形狀冇關。e定義上係同變化率(rate of change)有關,而且佢其實起源於一個同日常生活息息相關嘅經典經濟學問題 [slick]

歐拉常數有乜用?(What is e useful for?)

相信大家小學、初中應該都學過咩嘢係利息,尤其係複利率 (compound interest)。複利率呢種計息方法就係指除左本身本金外,本金所衍生出嚟嘅利息一樣會計息,「利疊利」就好似滾雪球,電影《食神》發達大計「上市集資,然後分拆公司再上市再集資」咁。假設銀行年利率係100% (小弟都想有:p),你存入一蚊本金,咁喺單利息嘅情況下一年之後你會得到嘅錢包括埋本金就係2蚊;但喺複利率計息下,如果計息期拆做半年,而利率改為50%,咁你最後得到嘅錢就會係 (1+0.5)^2=2.25。

講咗咁耐,咁究竟e同複利率有乜關係呢?聰明的「x登仔」相信可能由e嘅數學定義已經睇到出嚟 [slick] 點解e又會同複利率有關?試想像複利率中嘅計息期越縮越短,例如由一年減到一個月,一日甚至無限細,但收息年期不變,咁你最終得到嘅利息有幾多?無限大?
唔啱,呢個問題答案其實就係e。雖然計息期無限細代表你收息次數有無限咁多次,但同一時間每次計息時嘅利率都會變得無限細。兩者某程度上會抵消,所以雖然計息期不斷分拆縮短會增加年期完結後最終嘅利息收入,但增幅係有極限,而呢個極限就係e,好似下圖咁

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詳細討論同講解可以睇下面短片(英文)

 

歐拉常數係數學入面其中一個最重要嘅常數。除左計複利息,e喺數學上好多範疇好似統計學、微積分都好重要,而且佢仲可以用嚟表達虛數,例如數學上公認其中一條最靚嘅公式—歐拉恆等式 [slick]

(credit: CreativeDaffodil)

而喺物理學或者生活上好似放射性位元素佢一分鐘內衰變嘅頻率、半小時內有幾多傷者病人入急症室,甚至係一個城市人均收入呢類統計學例子同圓周運動等嘅背後理論都會用到e。所以e係好有用同無處不在㗎!

最後送首greeky嘅「歐拉之歌」畀大家作結 [bye]

https://www.youtube.com/watch?v=5BF3MHqsSvc

今次講住咁多,下次再談。

 

引伸延讀︰

[1] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html  (歐拉常數歷史,英文)

[2] https://www.youtube.com/watch?v=R0oUeLQIbIk

 

 

 

大爆炸系列(一)︰宇宙大爆炸有幾「爆」?(What is Big Bang theory?)

“ A whole universe was in a hot dense state. Then nearly fourteen billion years ago expansion started. Wait…”

大家知唔知上面歌詞嚟自邊套劇?唔知或者未睇過嘅強烈建議去搵嗰套劇睇下,絕對好睇同搞笑過CCTVB膠劇 [yeah]

好啦,入番正題,小弟既然提起套劇,今次當然係講宇宙大爆炸(Big Bang Theory)啦! 宇宙大爆炸大家可能聽得多,但對理論背後又有幾多認識呢?佢係話我地宇宙係創世紀(唔係CCTVB套神劇)咁無中生有咁「爆」出嚟?佢可以解答到所有關於宇宙嘅起源同演化問題?對於呢啲誤解同問題,小弟會嘗試喺呢個系列度解答一下

PS: 小弟貴為一介(廢柴)宇宙學家,同大家(不負責任地)講解過唔少物理學、宇宙學理論,但咁耐以嚟好似都冇詳細講過宇宙大爆炸 [sosad] 開始前先自膠 :O) :O) :O)

大爆炸其實一啲都唔「爆炸」(Big Bang is not an explosion)

首先從字面上講,宇宙大爆炸呢個名其實起得幾差,就好似「上帝粒子」、「天使粒子」、量子力學入面粒子固有嘅內在物理性質之一自旋(spin)咁,雖然係幾「吸晴」,但對一般冇相關背景知識嘅人嚟講其實幾誤導下…正所謂唔怕生壞命,最怕改壞名,美國軍艦都因為改壞名出事啦,好似係 [1] 睇嚟物理學家應該搵時間煲吓文學,學吓人地點改名 [sosad] 再唔係搵風水堪輿學家如麥xx/蘇xx大師請教吓? (曲)

(credit: Scientific American)

宇宙大爆炸呢個模型係建基於弗里德曼公式 (Friedmann equations),一組喺愛因斯坦(Albert Einstein)嘅廣義相對論(general relativity) — 一個顛覆人類以前一直對時間同空間固有觀念睇法嘅理論,框架下建立嘅宇宙學公式。宇宙大爆炸簡單概括講係指我地身處嘅宇宙其實同日常生活嘅體驗唔同,佢唔係靜止,反而係不斷膨脹o緊,而且宇宙嘅溫度係會隨膨脹下降,好似「爆炸」火球咁。不過有一點同爆炸好唔同,膨脹嘅係時空,冇所謂爆炸中心點;膨脹嘅係時空,冇所謂爆炸中心點;膨脹嘅係時空,冇所謂爆炸中心點 (好重要所以要講三次)。

時空膨脹?即係點呀?試想像你係一隻喺汽球表面上嘅螞蟻,而汽球表面就係你身處嘅「宇宙」,好似上圖咁(同樣比喻亦可以用喺收縮)。宇宙膨脹好似汽球膨脹咁,宇宙(即汽球表面)上任何點同點嘅距離都會隨時間增加,就算你靜止唔郁都好。

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對宇宙大爆炸錯誤嘅理解

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正確嘅宇宙大爆炸

而且宇宙亦冇任何特殊嘅所謂「爆炸中心點」嘅地方,好似下面條片講咁

https://www.youtube.com/watch?v=W4c-gX9MT1Q

不過呢個始終只係比喻,而比喻當然唔會完全100%準確啦。根據廣義相對論宇宙唔似汽球咁需要有額外空間或者維度比佢去膨脹,亦唔需要「吹氣」去做成膨脹。汽球比喻入面嘅額外空間同維度只係俾你可以具體啲理解同用肉眼觀察膨脹呢個現象。而且宇宙係無邊界嘅,所謂直徑140億光年只係我地嘅視界範圍,可觀察宇宙嘅大細。不過嚴格講邊界問題其實冇人知答案,不過至少現時宇宙學公認,喺大爆炸基礎上建立嘅標準理論模型ΛCDM係冇,宇宙係無限大。

大爆炸唔包宇宙開端,冇話宇宙係無中生有而嚟 (Big Bang theory does not apply in very early Universe)

另外大爆炸呢個名好似意指宇宙有一個開端,世界/時間有一個開始,暗指可能有造物者存在。不過事實係宇宙學家口中講嘅大爆炸從來都唔包宇宙開端同太初宇宙 (距「開端」少於約1分鐘),因為大爆炸同標準模型ΛCDM建基於嘅廣義相對論喺嗰時會失效,需要用到未知嘅量子重力去取代,用失效嘅理論去推測宇宙開端係點根本冇理據同意思。

大爆炸呢個模型其實係應該好似影片倒帶咁倒番轉去睇同理解先啱。基於1929年哈勃(Edwin Hubble)發現嘅星系紅移,包括之前一直堅信宇宙為靜止嘅愛因斯坦在內嘅宇宙學家知道宇宙其實係膨脹o緊。咁如果我地倒帶咁睇番轉頭,我地會發現星系嘅距離越來越細,佢地會越來越接近甚至融為一體變成一點。見到咁,可能受宗教信仰影響,之前一直有研究開弗里德曼公式嘅物理學家兼「耶撚」勒梅特(Georges Lemaître) 就提出話宇宙可能係起源於一粒「太初原子」,時空亦由嗰刻誕生,好似創世紀咁。由於太前衛而且有宗教色彩,呢個理論被天文學家海爾爵士(Sir Fred Hoyle) 戲稱為「大爆炸」,變成後嚟無可挽救嘅錯誤,好似係 [sosad] 雖然「大爆炸」當時唔係主流,好多爭論,但後嚟發現嘅宇宙微波背景輻射(Cosmic Microwave Background, CMB)太初核合成 (Big Bang nucleosynthesis) 等觀察證據*都證明宇宙的確係一直以嚟不斷以不同速度膨脹o緊。下圖簡單概括講解咗根據「宇宙大爆炸」呢條片現今物理學家知道嘅宇宙歷史係點 (英文)

*詳細關於大爆炸觀察證據嘅詳細講解下次再講

不過正如小弟之前講,大爆炸係唔包宇宙開端同太初宇宙架,上圖講嘅時間開端其實唔啱,而且嚴格講暴脹 (inflation)係唔包括喺大爆炸模型入面。最後總結係「大爆炸」正確啲講其實應該好似下面條片咁叫做「處處伸展」理論先啱,好似係 [slick] PS: 不過宇宙係唔係無限大呢點有爭論嘅地方,雖然現時公認標準理論模型ΛCDM係

https://www.youtube.com/watch?v=q3MWRvLndzs

最後送首「片尾曲」作結

https://www.youtube.com/watch?v=CMSYv_Z4SI8

今次講住咁多先,下次有時間再講 (Bazinga!)

 

引伸延讀︰

[1]https://www.thestandnews.com/cosmos/%E7%BE%8E%E5%9C%8B%E8%BB%8D%E8%89%A6%E6%94%B9%E5%A3%9E%E5%90%8D/

[2] 《Misconceptions about the Big Bang 》by Charles H. Lineweaver and Tamara M. Davis, Scientific American, March 2005 (英文) link: https://www.mso.anu.edu.au/~charley/papers/LineweaverDavisSciAm.pdf

[3] https://www.thestandnews.com/cosmos/%E7%A7%91%E5%AD%B8-%E7%B4%85%E7%A7%BB-%E5%BE%AE%E6%B3%A2-%E6%98%9F%E7%B3%BB-%E5%8E%9F%E5%AD%90%E5%92%8C%E5%A4%A7%E7%88%86%E7%82%B8/

貝氏機率,偽科學充斥社會嘅原因?(Bayesian statistics, the reason why pseudoscience prevails?)

最近有線新聞節目《新聞刺針》對近年興起嘅動物傳心做了深入調查,訪問咗5位傳心師同親身上堂聆聽工X會所謂有認證,讀完有證書嘅傳心課程。結果最後動物傳心被踢爆只係騙局,被訪嘅5位傳心師雖然聲稱睇過動物嘅相後就可以同動物隔空對話,但佢地睇完記者提供「布歐」嘅玉照後唔單止講嘅故仔自相矛盾,甚至連「布歐」只係一隻玩具龜呢個事實都睇唔出 [sosad]詳細報導請睇番[1]

報導出咗後喺社會同「傳心業界」帶嚟好大迴響。除左生物、物理學界有人出嚟同所謂有科學根據嘅「動物傳心業界」劃清界線,釐清乜嘢先係量子糾纏(quantum entanglement)[2],亦有唔少人從科學、哲學、人性等唔同方面探討呢個現象同其他偽科學出現背後嘅成因,研究點解呢啲睇落咁匪夷所思嘅偽科學嘢會有咁多人信[3]。小弟今日都想講吓呢個話題,不過喺由比較學術性嘅另一方面—數學探討呢個現象 [slick]

機率都有分類?貝氏機率係乜嘢?(What? There are different types of probability? What is Bayesian statistics?)

又關數學事?係呀,小弟雖然唔係科學/數學至上主義者,不過科學家同偽科學信徒點睇同一件事、一個假設/理論,有冇預設立場呢啲討論的確係可以客觀咁由數學,機率方面探討分析 [slick]

喺入正題前,小弟首先想問大家兩條可能會令大家痴線諗爆頭,有關機率嘅數學題 😀

1)小弟朋友屋企有一對細路,佢話俾小弟知至少其中一個係女仔(淨係知咁多,其他嘢完全唔知),咁另一個都係女仔機會係幾多?
2)小弟去探另一位一樣有一對細路嘅朋友。小弟本身唔知對細路性別係乜,但朋友屋企幫手開門嘅係一個細路女 (假設開門嘅細路係嗰對細路隨機 50/50一位)。咁另一個細路佢係女仔嘅機會率係幾多?

(假設生男/女機會率同為1/2,不考慮LGBT)

兩條問題好似一樣,不過兩者答案係(可以)唔同o架!(答案同詳細解釋請睇文章結尾 [slick])

相信大家中學讀數時都學過簡單機率問題,好似擲骰仔擲到1、喺一副啤牌入面抽到A嘅機率係幾大咁。呢啲其實都係頻率論(Frequentist probability),統計學入面機率分析其實仲有另一種,就係貝氏機率(Bayesian probability

貝氏機率係由貝氏定理(Bayes theorem)所提供嘅一種對機率嘅解釋,它採用將機率定義為某個人對一個命題信任程度嘅概念。唔同頻率論入面機率嘅分佈係固定同假設咗係已知 (通常為平均分佈uniform distribution或高斯分佈 Gaussian distribution) ,貝氏機率嘅概念似賭博投注,講嘅係根據已知數據或資訊推測結果/背後嘅機率分佈。而且預測會隨著所得數據或資訊改變。簡單例子就好似預測天氣,甚至極端啲預測十二碼入唔入咁,如果根據頻率論推測,隨時會由桂神「十二碼一係入一係唔入」嘅金句得出射入十二碼,聽日落雨嘅機率為50%呢啲荒謬答案。另外用頻率論去討論聽日會唔會落雨,下球十二碼美x或x朗射唔射得入呢啲情況本身就存在定義問題。因為聽日/下球十二碼只會出現一次,即係統計上只會得落雨/冇落雨,入/唔入,用頻率去定義機率嘅話結果只會係0或者100%…所以只有從貝氏角度出發,講你幾有信心件事結果會係咁先符合討論情況

氏定理,前設/先驗機率 (Bayes’ theorem, prior probability)

講咗咁耐,貝氏機率同呢人盲目咁信偽科學又有乜關係呢?喺解釋兩者關係之前,首先要了解乜嘢係貝氏定理。

貝氏定理係一條關於兩件隨機事件條件概率 (conditional probability)嘅定理。簡單講就係如果有兩件隨機事件A同B,咁當已知B發生後A發生嘅條件概率 – P(A|B) 同當已知A發生後B會發生嘅條件概率 – P(B|A),兩者間存在著上圖嘅關係。上面P(A) = 事件A發生機率,P(B) = 事件B發生機率。

貝氏定理應用嘅簡單經典例子包括蒙提.荷爾問題(Monty Hall problem)同罕有疾病嘅醫學檢測。假設一個國家入面有1%嘅人患有某種罕見疾病。醫院為左搵出所有患者,研發出一種針對呢種病嘅醫學檢測法,準確率達99%。呢度準確率係指真正嘅患者有99%對檢測法呈陽性反應,1%呈陰性;同樣地非患者有99%對檢測法呈陰性反應,1%呈陽性。咁如果醫院隨機喺國家入面挑選一個人做檢測,而結果呈陽性,咁嗰個人真係有病嘅機率係幾多呢?99%?錯啦,正確答案其實得50% [slick] 99%準確率睇落好似好準,不過由於呢種病屬罕見只得1%人有,所以檢測屬假陽性嘅人統計上數目其實同檢測屬真陽性一樣。 類似情況嘅詳細解釋請睇[4]

model_equation_bayesian

根據貝氏定理,科學家就可以有意義咁討論數據,實驗結果點影響佢地對一個假設理論模型啱唔啱嘅信心 (如上圖)。簡單例子就好似擲骰仔咁。假設你擲一粒骰仔連續擲到6多達N次,咁粒擲仔被人做咗手腳嘅機率係幾多呢?到N+1次都係擲到6嘅時候你嘅睇法又會點變呢?貝氏定理/貝氏機率就可以解答到呢啲問題。不過貝氏定理只係話到俾我地知點根據每次觀察結果去更新,修正原先嘅睇法、模型,但佢唔會話到俾我地知乜嘢前設/先驗機率(prior probability),即上圖嘅 P(模型A) 先係啱。而選擇乜嘢前設/先驗機率係會影響最後根據觀察結果得出嘅結論。

講番擲骰仔嘅例子,假設你一開始未擲之前已經偏向相信粒骰仔被人做咗手腳,咁只要連續擲到未必好多次6你就可能認定粒骰仔真係被人做咗手腳;相反如果你唔太信粒骰仔被人做咗手腳而篤信自己「行運一條龍」,咁可能就要連續擲到好多好多次6你先會信粒骰仔真係被人做咗手腳。當然只要有足夠多甚至唔同類型嘅觀察結果,例如擲骰仔擲足夠多次咁,大部份人最後得出嘅結論應該會殊途同歸,除左兩類人:100%認定自己係啱或者人地係錯嘅人 [banghead] 呢兩類人就算有無限多而且唔同種類嘅觀察結果或數據都唔會改變睇法,某程度上就好似某啲偽科學、反氣候轉變信徒咁。正如Nate Silver《The Signal and the Noise》一書所講,同呢類人討論根本晒心機同時間,因為佢地永遠可以自圓其說,為自己嘅睇法搵到「解釋」[banghead] 科學家雖然唔係萬能,一樣可能會有個人偏見,但佢地基本上係會盡量客觀咁睇一件事或模型,歡迎同鼓勵合理客觀嘅討論。佢地好少真係會100%認定自己係啱或者錯,除左某啲科學至上嘅人,不過嗰類人某程度上唔算得上係真.科學家。而且佢地好多時甚至希望任何同自己睇法相違嘅事/理論係真(因為咁代表有好多新研究方向可以做,好似係[sosad]),就好似小弟偶像湯川學咁 [slick] 所以偽科學,量子乜乜乜充斥社會呢啲問題一切都係貝氏機率嘅錯,好似係 [sosad]

 

有關貝氏定理點樣同一個人嘅信念相關可以睇下面短片(含中文字幕)

https://www.youtube.com/watch?v=R13BD8qKeTg

 

今次講住咁多先,下次再講 #bye#

 

引申延讀:

[1] http://cablenews.i-cable.com/ci/videopage/program/122490332/%E6%96%B0%E8%81%9E%E5%88%BA%E9%87%9D/%E5%82%B3%E5%BF%83%E5%B8%AB%E8%81%B2%E7%A8%B1%E9%9D%A0%E7%85%A7%E7%89%87%E5%8F%AF%E7%9F%A5%E5%8B%95%E7%89%A9%E6%83%B3%E6%B3%95

[2] 想認識乜嘢係量子糾纏可以睇番小弟嘅拙文

https://godfreyleungcosmo.wordpress.com/2017/05/24/%E6%89%80%E6%9C%89%E5%98%A2%E9%83%BD%E4%BF%82%E9%87%8F%E5%AD%90%E7%B3%BB%E5%88%97-%E8%B6%85%E9%81%A0%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E5%98%85%E9%AC%BC%E9%AD%85%E6%95%88%E6%87%89%EF%BC%9F%E6%84%9B%E5%9B%A0/

[3] (未能盡錄) https://www.thestandnews.com/cosmos/%E5%8B%95%E7%89%A9%E5%82%B3%E5%BF%83-%E9%82%84%E6%98%AF%E6%AC%BA%E9%A8%99%E4%BA%BA%E5%BF%83/

https://www.thestandnews.com/cosmos/%E7%84%A1%E7%9F%A5%E5%AE%B3%E4%BA%BA%E5%AE%B3%E7%95%9C-%E7%9B%B8%E4%BF%A1%E5%8B%95%E7%89%A9%E5%82%B3%E5%BF%83%E9%9D%9E%E4%BD%86%E8%BF%B7%E4%BF%A1%E4%B8%94%E4%B8%8D%E9%81%93%E5%BE%B7/

https://www.thestandnews.com/cosmos/%E6%8B%86%E8%A7%A3%E5%8B%95%E7%89%A9%E5%82%B3%E5%BF%83/

[4] https://www.idomaths.com/zh-Hant/probability5.php

[5] 有關貝氏機率嘅online course (英文)

https://www.coursera.org/learn/bayesian-statistics

 

 

[文章開頭機率問題答案︰

1) 答案係1/3。兩個細路仔嘅性別組合有男男、男女、女男、女女,各組合機率同樣係1/4。由於已知其中一個係女仔,所以得番男女、女男、女女三個可能性。結論另一個細路都係女仔可能性係1/3(註:男女≠女男)

2) 答案係1/2。雖然同上題一樣知道其中一個細路係女仔,但由於見到個細路,如果假設幫手開門嘅細路係嗰對細路隨機50/50一位,咁可能性係男女*、女*男、女*女、女女*。*為開門者。所以另一個細路都係女仔可能性係1/2 。其實呢條題目入面「知道開門的是女孩」這呢個訊息同問題「另一個細路性別係乜」是冇關係o架!

PS︰其實呢兩條問題某程度上有一定「爭議性」,因為答案結論同前設(假設),點樣接收到「其中一個是女孩」呢個訊息有關。不過咁就正正講出前設、貝氏機率嘅重要性。

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

]

 

書面語版︰https://www.thestandnews.com/cosmos/%E8%B2%9D%E6%B0%8F%E6%A9%9F%E7%8E%87-%E5%81%BD%E7%A7%91%E5%AD%B8%E5%85%85%E6%96%A5%E7%A4%BE%E6%9C%83%E7%9A%84%E5%8E%9F%E5%9B%A0/