[有趣數學系列] 究竟乜嘢係e?(What is e?)

(credit: geeky T-shirt design by Tostadora)

e 係乜嘢?咪係英文字母入面第五個囉!:O) 都啱嘅,不過小弟今日想講嘅係另外一種「文科」—數學入面嗰「字母」e,又叫歐拉常數 Euler’s number* : )
*以「神人」瑞士數學兼物理學家里昂哈特.歐拉(Leonhard Euler)命名嘅數字同理論其實仲有好多好多,請唔好搞亂e同另一個「字母」歐拉-馬斯卓朗尼#常數 γ (Euler-Mascheroni constant)
#唔係踢波個馬斯卓蘭奴 [sosad]
e呢個「數學字母」大家高中讀數或者見過 (?_? 香港而家DSE 好似只有額外加修課程先有讀,喺必修課程之外,唔同以前理科班CE/A-level屬接近必修課程。真係唔知而家仲有幾多學生會讀…),但除左知道佢係一個唔循環、無限長、寫唔盡,數值大概為2.7182…嘅小數外,大家對e呢個無理數又有幾多認識同了解呢?π 大家就知係圓周率,同計圓形嘅圓周、面積等有關,咁e呢?點解要無端端「發明」一個「字母」嚟代表呢個無理數?下面小弟呢個「偽.數學家」會嘗試解答吓呢啲問題 [slick]

歐拉常數嘅「生平」(A brief history of e)

喺開始講乜嘢係e同佢嘅應用前,小弟想先介紹吓歐拉常數嘅「生平」[slick] 歷史上第一次「提到」e呢個常數嘅其實係另一位數學家約翰‧拿皮爾(John Napier)。佢喺1618年出版關於對數(logarithm) 嘅數學著作入面一個附錄中有個表寫咗一堆數佢地自然對數(natural logarithm)嘅值。點解要括住「提到」?因為佢其實冇明確指出e呢個數同對數嘅base係乜,而且喺嗰時啲人對對數嘅概念同而家好唔同。雖然之後e喺對數相關研究文獻中都有被間中應用同「提到」,但真正發現e呢個數嘅公認係瑞士數學家雅各布·伯奴利(Jacob Bernoulli)。佢喺1683年去銀行時無意中因為嘗試計算自己户口有幾多錢時發現嘅 (去銀行嗰part小弟9up作出嚟 =p)。歐拉常數e係同極限和無限有關,數學上定義係下面公式

IMG_0199

後嚟數學家歐拉做咗唔少同呢個無理常數有關嘅研究,包括搵出同證明呢個無理常數嘅冪級數(power series)係咩,用呢個無理常數去表達虛數(imaginary number) 等,同時間佢為左方便書寫同通訊開始用字母e去代表呢個無理常數。由嗰時開始用e代表呢個數逐漸成為標準同潮流,亦因為咁e呢個數後嚟被命名為歐拉常數 (雖然後人好似唔多重視同留意歐拉嘅事蹟同貢獻,仲攞佢嚟講笑,好似係,見下圖 XD)

(credit: SMBC comics)

好啦,講番數學,e呢個數其實幾特別,同其他數學「字母」π或者黃金比例φ (golden ratio)唔同,佢本身定義上係同幾何形狀冇關。e定義上係同變化率(rate of change)有關,而且佢其實起源於一個同日常生活息息相關嘅經典經濟學問題 [slick]

歐拉常數有乜用?(What is e useful for?)

相信大家小學、初中應該都學過咩嘢係利息,尤其係複利率 (compound interest)。複利率呢種計息方法就係指除左本身本金外,本金所衍生出嚟嘅利息一樣會計息,「利疊利」就好似滾雪球,電影《食神》發達大計「上市集資,然後分拆公司再上市再集資」咁。假設銀行年利率係100% (小弟都想有:p),你存入一蚊本金,咁喺單利息嘅情況下一年之後你會得到嘅錢包括埋本金就係2蚊;但喺複利率計息下,如果計息期拆做半年,而利率改為50%,咁你最後得到嘅錢就會係 (1+0.5)^2=2.25。

講咗咁耐,咁究竟e同複利率有乜關係呢?聰明的「x登仔」相信可能由e嘅數學定義已經睇到出嚟 [slick] 點解e又會同複利率有關?試想像複利率中嘅計息期越縮越短,例如由一年減到一個月,一日甚至無限細,但收息年期不變,咁你最終得到嘅利息有幾多?無限大?
唔啱,呢個問題答案其實就係e。雖然計息期無限細代表你收息次數有無限咁多次,但同一時間每次計息時嘅利率都會變得無限細。兩者某程度上會抵消,所以雖然計息期不斷分拆縮短會增加年期完結後最終嘅利息收入,但增幅係有極限,而呢個極限就係e,好似下圖咁

graph-1-1-n-n

詳細討論同講解可以睇下面短片(英文)

 

歐拉常數係數學入面其中一個最重要嘅常數。除左計複利息,e喺數學上好多範疇好似統計學、微積分都好重要,而且佢仲可以用嚟表達虛數,例如數學上公認其中一條最靚嘅公式—歐拉恆等式 [slick]

(credit: CreativeDaffodil)

而喺物理學或者生活上好似放射性位元素佢一分鐘內衰變嘅頻率、半小時內有幾多傷者病人入急症室,甚至係一個城市人均收入呢類統計學例子同圓周運動等嘅背後理論都會用到e。所以e係好有用同無處不在㗎!

最後送首greeky嘅「歐拉之歌」畀大家作結 [bye]

https://www.youtube.com/watch?v=5BF3MHqsSvc

今次講住咁多,下次再談。

 

引伸延讀︰

[1] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html  (歐拉常數歷史,英文)

[2] https://www.youtube.com/watch?v=R0oUeLQIbIk

 

 

 

Advertisements

貝氏機率,偽科學充斥社會嘅原因?(Bayesian statistics, the reason why pseudoscience prevails?)

最近有線新聞節目《新聞刺針》對近年興起嘅動物傳心做了深入調查,訪問咗5位傳心師同親身上堂聆聽工X會所謂有認證,讀完有證書嘅傳心課程。結果最後動物傳心被踢爆只係騙局,被訪嘅5位傳心師雖然聲稱睇過動物嘅相後就可以同動物隔空對話,但佢地睇完記者提供「布歐」嘅玉照後唔單止講嘅故仔自相矛盾,甚至連「布歐」只係一隻玩具龜呢個事實都睇唔出 [sosad]詳細報導請睇番[1]

報導出咗後喺社會同「傳心業界」帶嚟好大迴響。除左生物、物理學界有人出嚟同所謂有科學根據嘅「動物傳心業界」劃清界線,釐清乜嘢先係量子糾纏(quantum entanglement)[2],亦有唔少人從科學、哲學、人性等唔同方面探討呢個現象同其他偽科學出現背後嘅成因,研究點解呢啲睇落咁匪夷所思嘅偽科學嘢會有咁多人信[3]。小弟今日都想講吓呢個話題,不過喺由比較學術性嘅另一方面—數學探討呢個現象 [slick]

機率都有分類?貝氏機率係乜嘢?(What? There are different types of probability? What is Bayesian statistics?)

又關數學事?係呀,小弟雖然唔係科學/數學至上主義者,不過科學家同偽科學信徒點睇同一件事、一個假設/理論,有冇預設立場呢啲討論的確係可以客觀咁由數學,機率方面探討分析 [slick]

喺入正題前,小弟首先想問大家兩條可能會令大家痴線諗爆頭,有關機率嘅數學題 😀

1)小弟朋友屋企有一對細路,佢話俾小弟知至少其中一個係女仔(淨係知咁多,其他嘢完全唔知),咁另一個都係女仔機會係幾多?
2)小弟去探另一位一樣有一對細路嘅朋友。小弟本身唔知對細路性別係乜,但朋友屋企幫手開門嘅係一個細路女 (假設開門嘅細路係嗰對細路隨機 50/50一位)。咁另一個細路佢係女仔嘅機會率係幾多?

(假設生男/女機會率同為1/2,不考慮LGBT)

兩條問題好似一樣,不過兩者答案係(可以)唔同o架!(答案同詳細解釋請睇文章結尾 [slick])

相信大家中學讀數時都學過簡單機率問題,好似擲骰仔擲到1、喺一副啤牌入面抽到A嘅機率係幾大咁。呢啲其實都係頻率論(Frequentist probability),統計學入面機率分析其實仲有另一種,就係貝氏機率(Bayesian probability

貝氏機率係由貝氏定理(Bayes theorem)所提供嘅一種對機率嘅解釋,它採用將機率定義為某個人對一個命題信任程度嘅概念。唔同頻率論入面機率嘅分佈係固定同假設咗係已知 (通常為平均分佈uniform distribution或高斯分佈 Gaussian distribution) ,貝氏機率嘅概念似賭博投注,講嘅係根據已知數據或資訊推測結果/背後嘅機率分佈。而且預測會隨著所得數據或資訊改變。簡單例子就好似預測天氣,甚至極端啲預測十二碼入唔入咁,如果根據頻率論推測,隨時會由桂神「十二碼一係入一係唔入」嘅金句得出射入十二碼,聽日落雨嘅機率為50%呢啲荒謬答案。另外用頻率論去討論聽日會唔會落雨,下球十二碼美x或x朗射唔射得入呢啲情況本身就存在定義問題。因為聽日/下球十二碼只會出現一次,即係統計上只會得落雨/冇落雨,入/唔入,用頻率去定義機率嘅話結果只會係0或者100%…所以只有從貝氏角度出發,講你幾有信心件事結果會係咁先符合討論情況

氏定理,前設/先驗機率 (Bayes’ theorem, prior probability)

講咗咁耐,貝氏機率同呢人盲目咁信偽科學又有乜關係呢?喺解釋兩者關係之前,首先要了解乜嘢係貝氏定理。

貝氏定理係一條關於兩件隨機事件條件概率 (conditional probability)嘅定理。簡單講就係如果有兩件隨機事件A同B,咁當已知B發生後A發生嘅條件概率 – P(A|B) 同當已知A發生後B會發生嘅條件概率 – P(B|A),兩者間存在著上圖嘅關係。上面P(A) = 事件A發生機率,P(B) = 事件B發生機率。

貝氏定理應用嘅簡單經典例子包括蒙提.荷爾問題(Monty Hall problem)同罕有疾病嘅醫學檢測。假設一個國家入面有1%嘅人患有某種罕見疾病。醫院為左搵出所有患者,研發出一種針對呢種病嘅醫學檢測法,準確率達99%。呢度準確率係指真正嘅患者有99%對檢測法呈陽性反應,1%呈陰性;同樣地非患者有99%對檢測法呈陰性反應,1%呈陽性。咁如果醫院隨機喺國家入面挑選一個人做檢測,而結果呈陽性,咁嗰個人真係有病嘅機率係幾多呢?99%?錯啦,正確答案其實得50% [slick] 99%準確率睇落好似好準,不過由於呢種病屬罕見只得1%人有,所以檢測屬假陽性嘅人統計上數目其實同檢測屬真陽性一樣。 類似情況嘅詳細解釋請睇[4]

model_equation_bayesian

根據貝氏定理,科學家就可以有意義咁討論數據,實驗結果點影響佢地對一個假設理論模型啱唔啱嘅信心 (如上圖)。簡單例子就好似擲骰仔咁。假設你擲一粒骰仔連續擲到6多達N次,咁粒擲仔被人做咗手腳嘅機率係幾多呢?到N+1次都係擲到6嘅時候你嘅睇法又會點變呢?貝氏定理/貝氏機率就可以解答到呢啲問題。不過貝氏定理只係話到俾我地知點根據每次觀察結果去更新,修正原先嘅睇法、模型,但佢唔會話到俾我地知乜嘢前設/先驗機率(prior probability),即上圖嘅 P(模型A) 先係啱。而選擇乜嘢前設/先驗機率係會影響最後根據觀察結果得出嘅結論。

講番擲骰仔嘅例子,假設你一開始未擲之前已經偏向相信粒骰仔被人做咗手腳,咁只要連續擲到未必好多次6你就可能認定粒骰仔真係被人做咗手腳;相反如果你唔太信粒骰仔被人做咗手腳而篤信自己「行運一條龍」,咁可能就要連續擲到好多好多次6你先會信粒骰仔真係被人做咗手腳。當然只要有足夠多甚至唔同類型嘅觀察結果,例如擲骰仔擲足夠多次咁,大部份人最後得出嘅結論應該會殊途同歸,除左兩類人:100%認定自己係啱或者人地係錯嘅人 [banghead] 呢兩類人就算有無限多而且唔同種類嘅觀察結果或數據都唔會改變睇法,某程度上就好似某啲偽科學、反氣候轉變信徒咁。正如Nate Silver《The Signal and the Noise》一書所講,同呢類人討論根本晒心機同時間,因為佢地永遠可以自圓其說,為自己嘅睇法搵到「解釋」[banghead] 科學家雖然唔係萬能,一樣可能會有個人偏見,但佢地基本上係會盡量客觀咁睇一件事或模型,歡迎同鼓勵合理客觀嘅討論。佢地好少真係會100%認定自己係啱或者錯,除左某啲科學至上嘅人,不過嗰類人某程度上唔算得上係真.科學家。而且佢地好多時甚至希望任何同自己睇法相違嘅事/理論係真(因為咁代表有好多新研究方向可以做,好似係[sosad]),就好似小弟偶像湯川學咁 [slick] 所以偽科學,量子乜乜乜充斥社會呢啲問題一切都係貝氏機率嘅錯,好似係 [sosad]

 

有關貝氏定理點樣同一個人嘅信念相關可以睇下面短片(含中文字幕)

https://www.youtube.com/watch?v=R13BD8qKeTg

 

今次講住咁多先,下次再講 #bye#

 

引申延讀:

[1] http://cablenews.i-cable.com/ci/videopage/program/122490332/%E6%96%B0%E8%81%9E%E5%88%BA%E9%87%9D/%E5%82%B3%E5%BF%83%E5%B8%AB%E8%81%B2%E7%A8%B1%E9%9D%A0%E7%85%A7%E7%89%87%E5%8F%AF%E7%9F%A5%E5%8B%95%E7%89%A9%E6%83%B3%E6%B3%95

[2] 想認識乜嘢係量子糾纏可以睇番小弟嘅拙文

https://godfreyleungcosmo.wordpress.com/2017/05/24/%E6%89%80%E6%9C%89%E5%98%A2%E9%83%BD%E4%BF%82%E9%87%8F%E5%AD%90%E7%B3%BB%E5%88%97-%E8%B6%85%E9%81%A0%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E5%98%85%E9%AC%BC%E9%AD%85%E6%95%88%E6%87%89%EF%BC%9F%E6%84%9B%E5%9B%A0/

[3] (未能盡錄) https://www.thestandnews.com/cosmos/%E5%8B%95%E7%89%A9%E5%82%B3%E5%BF%83-%E9%82%84%E6%98%AF%E6%AC%BA%E9%A8%99%E4%BA%BA%E5%BF%83/

https://www.thestandnews.com/cosmos/%E7%84%A1%E7%9F%A5%E5%AE%B3%E4%BA%BA%E5%AE%B3%E7%95%9C-%E7%9B%B8%E4%BF%A1%E5%8B%95%E7%89%A9%E5%82%B3%E5%BF%83%E9%9D%9E%E4%BD%86%E8%BF%B7%E4%BF%A1%E4%B8%94%E4%B8%8D%E9%81%93%E5%BE%B7/

https://www.thestandnews.com/cosmos/%E6%8B%86%E8%A7%A3%E5%8B%95%E7%89%A9%E5%82%B3%E5%BF%83/

[4] https://www.idomaths.com/zh-Hant/probability5.php

[5] 有關貝氏機率嘅online course (英文)

https://www.coursera.org/learn/bayesian-statistics

 

 

[文章開頭機率問題答案︰

1) 答案係1/3。兩個細路仔嘅性別組合有男男、男女、女男、女女,各組合機率同樣係1/4。由於已知其中一個係女仔,所以得番男女、女男、女女三個可能性。結論另一個細路都係女仔可能性係1/3(註:男女≠女男)

2) 答案係1/2。雖然同上題一樣知道其中一個細路係女仔,但由於見到個細路,如果假設幫手開門嘅細路係嗰對細路隨機50/50一位,咁可能性係男女*、女*男、女*女、女女*。*為開門者。所以另一個細路都係女仔可能性係1/2 。其實呢條題目入面「知道開門的是女孩」這呢個訊息同問題「另一個細路性別係乜」是冇關係o架!

PS︰其實呢兩條問題某程度上有一定「爭議性」,因為答案結論同前設(假設),點樣接收到「其中一個是女孩」呢個訊息有關。不過咁就正正講出前設、貝氏機率嘅重要性。

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

]

 

書面語版︰https://www.thestandnews.com/cosmos/%E8%B2%9D%E6%B0%8F%E6%A9%9F%E7%8E%87-%E5%81%BD%E7%A7%91%E5%AD%B8%E5%85%85%E6%96%A5%E7%A4%BE%E6%9C%83%E7%9A%84%E5%8E%9F%E5%9B%A0/

 

弦論唔可以證偽?(Is string theory really unfalsifiable? )

1+2+3+…加到無限個答案係乜?答案唔止唔係無限,仲係一個負數,係 -1/12 [slick] 呢條數小弟之前已經喺blog略略提過吓,網上亦有好多討論同youtube片解釋點解,詳見[1] (或者遲啲有機會寫番篇文解釋吓)

?_? 今次唔係講弦論(string theory)咩?點解要提呢條咁「詭異」、令人難接受、理解嘅數呢?咁係因為呢條數其實對弦論好重要,係用嚟推論出點解弦論需要一個10/11維度嘅時空 [slick] 所以呢條數唔係啲數學家得閒無事「作」出來,甚至可能係世界嘅真理 XD (至於點解小弟喺呢度就唔講啦,真係有興趣知去讀番個PhD啦 [sosad])

小弟提呢條數嘅目的係想講弦論背後所牽涉嘅數學、物理知識係深不可測,絕對唔係「凡夫俗子」可以輕易睇得明。弦論仲開埋物理學先例,入面牽涉嘅數學甚至比數學家已知嘅更深更廣,係數學嘅前沿研究課題 :O 要認真學識、明白弦論基本上冇番咁上下「痴線」或長期閉關修行係唔得架。 小弟自問入魔唔深,亦唔夠「瘋癲」,只係涉獵過最基本嘅基本,唔涉及超對稱(supersymmetry)嘅初階版玻色弦論(bosonic string theory),要用三言兩言喺blog講解乜嘢係弦論真係天方夜譚…

[offtopic]弦論,尤其最終極嗰個版本M-theory,點解咁難明?因為背後其實隱藏咗一個驚世大陰謀 — M-theory 嗰M指乜?諗到呢個終極理論嘅Ed Witten係咩人?請睇上面幅圖[sosad][sosad]

所以其實今次小弟只係想講吓一個一般人對弦論嘅誤解:弦論唔可以證偽,好似XX政府龍門任佢搬咁,係信仰多過理論呢個唔係幾啱嘅睇法。呢個觀點可能係來自大家嘅道聽塗說,亦可能因為睇過坊間一啲科普書,好似斯莫林(Lee Smolin)嗰本《The Trouble with Physics》# 或者Peter Woit嘅《Not Even Wrong》。抱有呢種睇法,個人認為或者係出於對弦論嘅錯誤解讀。小弟不才, 但下面會嘗試反駁吓弦論係唔可以證偽呢個觀點

(戴頭盔先:小弟唔算係弦論學者,亦唔識迴圈量子重力論。本文觀點係根據自己所學所聽,用比較中立嘅角度寫嘅,好似係)

 [曲線向谷阿莫”致敬”*]幾分鐘講完弦理論 (Few minutes quick explanation of string theory)

*而小弟不知谷阿莫是誰(亦冇興趣知 :P)

小弟雖然自問冇資格講解乜係弦論 [sosad] 不過循例點都要講吓gei,就用[谷阿莫 mode],用最簡短(不負責任)嘅幾句話講吓啦! (曲線抽水中)

https://www.youtube.com/watch?v=IGAgvu1HYpA

(用喵星人「解釋」弦論XD)

固名思義,弦論就係講自然世界最基本嘅組成成份唔再係一直以嚟大家所相信冇維度嘅粒子,而係一啲好似弦咁嘅一維物件。大家見到唔同嘅粒子係因為條弦振動嘅頻率唔同。就好似樂器,結他嘅弦喺振動時,唔同嘅頻率放出嘅音調都唔同咁。大自然一切嘅物理現象其實就好似一篇篇扣人心弦嘅交響樂樂章咁,由好多唔同頻率嘅音調形成。係咪突然覺得物理學、弦論好神奇、浪漫有格調呢XD

https://www.youtube.com/watch?v=PTxoM5QvruY

不過當然同樂器好似結他嘅弦有一個明顯分別,就係呢啲組成世界最基本嘅弦係細好多好多,一定要用量子力學(正確啲講係量子場學 Quantum Field Theory, QFT)描述。普利雅科夫(Alexander Polyakov)係最先研究量子力學世界入面弦係點嘅物理學家,所以背後嘅公式/理論建基於嘅基礎又叫普利雅科夫作用量(Polyakov action)

[offtopic] 理論上喺物理學入面一切嘅物理學公式都係由一樣叫作用量(action)嘅嘢推算出嚟,包括好似牛頓力學F=ma呢啲中學學嘅公式咁。作用量先係一個理論嘅根本

呢啲弦又根據兩端嘅邊界條件分開兩種:開弦(open strings)閉弦(closed strings),好似下圖咁

open_strings_closed_strings

開弦嘅兩端係「黐」喺一啲大好多叫(branes)嘅高維度(唔一定2D)嘅嘢上面,好似下圖咁。呢啲膜同閉弦都係可以隨意喺時空入面遊走,而啲膜本身亦係由大量嘅弦所組成。

弦論其實更似一個模型框架,唔係單一理論(string theory is more like a framework, not a single unique theory)

理論上弦論係得一個參數,就係弦嘅張力(string tension),所有公式/定律都係推算出嚟。好似弦論咁可以只用一個參數一樣嘢就解釋晒所有物理現象嘅模型,即萬有理論(theory of everything/unifying theory),一直都係物理學家夢寐以求想搵到嘅終極理論。

咁實際上呢?點解啲人又話弦論有「無限」咁多解、可能性,有物理學家又批評佢龍門任搬呢?無錯雖然弦論得一個參數,好似冇乜可變性,但基於弦論要存在喺10/11維時空入面,而我地又完全唔知4維時空以外嘅額外維度(記住呢度講嘅係類似3維空間嘅額外維度)係點,所以當物理學家將弦論放番喺我地認知嘅4維時空入面睇就出現好多變數、可能性。不過嗰啲額外維度嘅幾何形狀都唔係可以點就點,弦論要求佢地要係卡拉比丘流形(Calabi–Yau manifold,所以可能性係多但其實唔係無限。[offtopic] 卡拉比–丘流形就係香港(其實人地已經入籍美國)數學家丘成桐搞出嚟嘅嘢。唔好問小弟佢係乜,可以嘅話請問番丘成桐

因為額外維度存在咁多可能性,弦論唔會得出好似F=ma咁嘅單一公式或者預測,反而會得出好多變數,所以啲人會話佢好似搬龍門咁點講都啱。但其實咁嘅批評唔係幾合理,因為呢啲變數,實際上嚟講弦論其實更似一個模型框架多過一個單一理論,就好似量子場學 QFT咁。弦論就好似樂理設定、語法咁,係音樂、語言背後建基於嘅框架,所以理論上預測結果有好多可能性係好合理。正如就算語言可以表達到好多嘢同有好多種唔同嘅演繹方法,但你唔會質疑語言背後冇一套系統理論喺入面咁。

但有咁多可能性,所有嘢都好似講得通,咁弦論唔係違反咗科學界一直堅持相信科學理論必須要可證偽(falsifiable) 呢個觀點咩?咁講其實都唔啱。弘論係建基於現今物理學經過嚴格驗證嘅兩套理論,狹義相對論(special relativity)量子力學(quantum mechanics),另加上超對稱理論(但唔係必需,好似係)。如果有實驗結果同呢啲弘論嘅根本理論有出入、矛盾,咁弦論亦同時會被證偽。就好似語言嘅比喻咁,可變性係好多但唔同語言語法上嘅出入係可以睇倒出嚟嘅

至於點解弦論受咁多物理學家認同、相信,除左係因為佢係少數可以成功融合到廣義相對論(general relativity)同量子力學嘅理論外,佢仲可以應用喺其他理論物理學上面,好似AdS/CFT對偶(AdS/CFT correspondence),用嚟解釋一啲超流體/超導體異常現象,或者用喺強耦合(strong coupling)系統嘅運算上。另外弦論本身起初唔係用嚟描述量子重力(quantum gravity),反而係量子重力研究(好似黑洞咁)入面啲運算、推論指向弦論方向,詳細可以睇吓下面段片(英文)

https://www.youtube.com/watch?v=Q8ccXzM3x8A

最後請畀小弟用下面幅圖總結同利申一吓

# Lee Smolin絕對係一個出名同有料嘅物理學家, 小弟亦睇過嗰本書。雖然入面有啲睇法或者可取,好似應該諗吓弦論以外嘅可能性。但請記住佢本身係迴圈量子重力論(Loop Quantum Gravity)呢個弦論競爭者嘅其中一位創立者,所以絕對有利益衝突,觀點或帶有偏見

 

引申延讀:

[1] https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww

https://zh.wikipedia.org/zh-hk/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%80%A6

https://frankliou.wordpress.com/2014/05/18/123-112/

http://sa.ylib.com/MagArticle.aspx?Unit=featurearticles&id=3114

[2] http://sa.ylib.com/MagArticle.aspx?Unit=featurearticles&id=560

[3] http://web.mit.edu/yenjie/www/lm/physics/phys-field-string-2.htm

 

O嘴數學系列:無限係乜?(what is infinity?)

infinity

(picture from Cambrige Alumni Magazine)

無限(唔係講緊《龍珠》嗰個:o) )係乜?我諗大家都至少有個概念係乜,簡單就好似由1,2,3,...不停咁數落去數到世界未日都唔停咁。呢個概念就算細路仔/「人蠢無藥醫」既林健鋒同葉國謙(利申:唔係小弟講既,我只係引述田北俊講既野)都明。

但無限真係咁簡單?你又知唔知無限都有分種類?

https://www.youtube.com/watch?v=elvOZm0d4H0

https://www.youtube.com/watch?v=A-QoutHCu4o

唔單止咁,無限其實比你想像既更奇怪,違反常理,連發現有D無限(uncountable infinity)大過某D無限(countable infinity)既數學家格奧爾格·康托爾(Georg Cantor)晚年都痴左線,[sosad]

乜野係無限呢個問題甚至係哲學問題,可以睇吓下面講既悖論(paradox)

https://www.youtube.com/watch?v=dDl7g_2x74Q

小弟雖然title叫PhD,但個title名唔係指Doctor of Philosophy,只係表示小弟係一個有permanent head damage係薄餅博士做野既外賣仔 :)所以呢D哲學問題都係留番俾哲學家研究啦!

物理學上都有涉及無限呢樣野,好似量子場論(Quantum Field Theory)當中既 重整化Renormalisation)就係例子。乜野係量子場論(Quantum Field Theory)重整化(Renormalisation)? 有機會下(或下下下下...)次再講 :)

“Two things are infinite: the universe and human stupidity; and I’m not sure about the the universe.” – Albert Einstein

[offtopic] 岩岩兩日前美最高法院裁定同性婚姻合憲 ,恭喜晒 #LGBT:)Equality and respect are most important!

https://www.youtube.com/watch?v=nB1fktc3sQ0

同性戀=有罪,犯法?請先認識吓艾倫·圖靈(Alan Turing)再下判斷

PS:差D唔記得今日係tau day添:D 😀 #hoho# #hoho# Happy Tau day 🙂

https://www.youtube.com/watch?v=83ofi_L6eAo
https://www.youtube.com/watch?v=ZPv1UV0rD8U&feature=youtu.be

更新詳盡版現刊於立場新聞:

https://www.thestandnews.com/cosmos/%E7%84%A1%E9%99%90%E6%98%AF%E7%94%9A%E9%BA%BC/