[有趣數學系列]《小學雞冇獎問答遊戲:下一個數係乜?》

大家新年快樂呀!喺新嘅一年,等小弟趁吓熱鬧,學港共政府旅發局,搞番個「小學雞(?)冇獎數學問答遊戲」先。*

*唔使擔心死server,因為今次會由小弟人手驗證同抽籤,好似係。不過,唔使追問小弟驗證碼同結果,因為冇獎㗎!

好啦,條問題係咁嘅:

「假設有一個數列,頭5個數字如下:1, 2, 4, 8, 16, x。請問下一個數,即x係乜?」

答案係31? (The answer is 31!)

類似嘅「數學」問題,係學能測驗、港共CRE、大公司aptitude test等,入面老是常出現嘅題型。上面條題目,你可能唔使1秒,一眼就睇得出同2嘅power有關,得出32哩個答案。不過,哩條題目嘅「正確答案」其實係31。

(圖擷取自互聯網)

「有乜可能係31?」

「吓?有乜可能突然變咗單數,仲要係31咁騎呢?」雖然睇落好似好唔合理,不過31的確可以係答案,而且哩個答案背後對應嘅係一個非常有趣嘅數學問題。

要明白點解答案可以係31,我哋首先要將原本個問題轉個方法「包裝」問:

「試諗吓而家有一個圓,上面有N個點,咁將哩N個點全部連埋一齊,最多可以將個圓分成幾多份呢?」

唔太明上面問𡁵咩嘅話,大家可以畫圖去理解一下,好似下面幅圖咁。

簡單數一下,你會發現頭5個規律都同2嘅power一致。好啦,咁第6個呢?根據前面嘅規律,你或者會估係32,不過答案其實係31先啱!唔信嘅你可以自己數下。

哩個問題又叫莫西圓形問題(Moser’s circle problem),正正就帶出咗數學唔係單純嘅估規律遊戲,規律有時可以出乎你意料之外。你自以為搵到個規律,但事實可能冇表面睇咁簡單。而哩個莫西圓形問題佢對應嘅函數,正確其實係下面條式,啱啱就係喺N=6嘅時候唔再乎合2嘅power個規律。詳細嘅推論過程有興趣可以睇番維基[2],其實唔難(好似係)。


數學唔係單純嘅估規律遊戲或學科(Mathematics is not simply about finding patterns)

事實上哩類「學能測驗」式嘅估規律遊戲,如果冇設立任何限制,例如限個函數有幾多個參數,你可以搵到無限多嘅函數乎合任何你想要嘅規律。就好似一個有無限多參數嘅函數,佢係可以描述到任何規律,同「全能嘅上帝」冇分別,喺數學或科學上根本冇討論嘅意義。

例如上面最初「1, 2, 4, 8, 16, x,請問x係乜」條問題咁,其實有大把函數乎合哩個規律,就好似咁

一樣乎合題目嘅規律要求。數學上哩類好似有一定規律,但當去到某N項時卻突然出現反例嘅例子好常見,尤其涉及質數嘅特別多。好似梅森質數(Mersenne prime)費馬數(Fermat number)咁,雖然就咁睇頭幾項,會得出佢哋全部係質數嘅猜想,但事實係反例正正就喺你估唔到嘅下一項出現。

同應用統計學或某啲科學範疇唔同,數學講求絕對嚴謹性,唔係單純嘅將規律歸納嘅學科。就算你發現到頭N項背後好似有一個既定嘅規律,你都唔可以擔保下一項唔會突然出現反例,更何況人類本身係一種非常「擅長腦補」規律嘅物種,好似喺照片上「腦補」有人樣,喺一堆隨機訊息入面「腦補」一堆規律出嚟(哩樣嘢叫幻想性錯覺)。除非你測試晒所有情況或數項,有嚴謹推論過程證明個規律幾時都啱,否則哩啲都只係規律嘅猜想,唔算得上係數學。PS:其實理論物理學某程度上都係,雖然嚴謹性比唔上數學,但一樣要求各方面唔同嘅獨立證據同嚴謹嘅理論推論。單純嘅從觀察實驗結果得出嘅一啲規律模式,係唔足以建立出一套理論。


最後喺完結前,容小弟分享一下《高登音樂台》嘅二次創作歌曲,為香港人打吓氣,「康復香港,時代抗疫」!

今次講到哩度,下次再講。


延伸閱讀:

[1] 《規律很靠譜嗎?千萬不要迷信數學中的規律!數學中的反例》by 媽咪說(蝗語勿屌)

[2] 《Dividing circle into areas》from Wiki, https://en.wikipedia.org/wiki/Dividing_a_circle_into_areas

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