[乜嘢係i] 「唔存在」嘅數字?淺談乜嘢係虛數同佢嘅用處 (What is i?)

(Credits: 《Calvin and Hobbes》by Bill Watterson)

(好耐)之前小弟講過吓乜嘢係e [1] #,今次就繼續「教英文字母」,同大家講吓第九個字母同乜嘢係i啦!(笑)[slick]

# 哩度係講𡁵數學嘅歐拉常數(Euler’s number,唔係指第五個英文字母個e [sosad]

小弟身為一個物理學家同「偽·數學家」,當然唔係教大家英文啦(雖則小弟喺英國生活咗好多年)!哩度講嘅i係數學符號,即代表住負數平方根—虛數單位嗰個符號i^。如果修理科嘅話,相信中學讀數都會見過哩個符號(不過唔知喺宜家亂咁cut課程嘅DSE仲有幾多人學…)

^某少部分工程領域鍾意用j表示虛數單位。小弟表示唔太能理解…或者咁係因為佢哋經常睇j圖?[sosad](講笑)


「唔存在」嘅數字— 虛數(imaginary number, the number that “does not exist”)

虛數(imaginary number)係指例如1、1/2、√2哩啲實數(real number)以外嘅複數(complex number),而i就係標示住哩啲數字嘅單位,佢嘅數學定義係√-1。虛數哩個名係源自17世纪著名數學家笛卡爾(René Descartes, or Latinised as Renatus Cartesius),佢因為有感哩啲數字純屬幻想出嚟,喺著作《幾何學》(La Géométrie)一書中叫佢哋做「子虛烏有的數」(nombre imaginaire)[2]

[…] sometimes only imaginary, that is one can imagine as many as I said in each equation, but sometimes there exists no quantity that matches that which we imagine. (英文翻譯)


雖然虛數嘅單位i定義係(-1)嘅平方根,但喺歷史發展上虛數最初嘅出現其實同二次元方程冇關,反而係源自三次方程。喺16世紀初,一班包括塔達里亞(Niccolò Tartaglia)卡丹奴(Girolamo Cardano)在內嘅意大利數學家開始著手研究任意三次同四次方程嘅根式解法。佢哋發現就算唔計嗰啲「唔存在」、「異類」、「違反數論」嘅虛數解,淨係考慮實數解,有時喺解哩啲方程時都避免唔到用到涉及負數平方根嘅運算。卡丹奴後嚟喺著作《大技術》(Ars Magna,意即「偉大的技藝」the Great Art) 將哩啲研究成果整理公開發表,當中內容除左任意三次方程式嘅根式解法,仲包括解釋點解哩啲解法行得通嘅幾何論證。不過塔達里亞知道咗之後非常唔啹(gur),認為卡丹諾違反咗兩人嘅約定,但哩個係後話,有興趣想知道多啲哩個歷史故仔嘅可以睇英家銘、蘇意雯合寫嘅〈數學與「禮物交換」〉[3]。


哩啲「虛構」、「唔存在」嘅數字同相關研究成果起初唔太受學術界歡迎同認同,除左笛卡爾外,牛頓更加係直接話哩啲數「冇可能」。雖然睇落好似純粹「虛構出嚟」,違反我哋對數字、平方根平常嘅「認知」,但如果將佢哋當成實數咁運算竟然又冇乜問題同矛盾。後嚟到咗十八世紀,包括歐拉(Leonhard Euler)在內嘅數學家開始發現虛數原來同三角函數好似cos、sin咁好有關係。透過運用虛數,我哋可以用非常乾淨嘅形式將指數函數(power/exponential)同三角函數串埋一齊,好似下面著名嘅狄莫夫公式(De Moivre’s formula)歐拉公式(Euler’s formula)

運用哩啲公式,數學家可以好簡單俐落咁解決某啲三角函數嘅積分問題。到咗18世紀未,虛數開始被廣為接受,之後「數學王子」高斯(Carl Friedrich Gauss)再大力推廣同發表咗著名嘅代數基本定理(Fundamental Theorem of Algebra),總結咗複數嘅應用並嚴格證明每一個n次代數方程式必定有n個實數或者複數解,終於確立咗虛數係數字同奠定咗佢哋喺數學嘅地位。對虛數發展歷史有興趣嘅可以睇埋下面Welch Lab嘅短片(part 1):(英文)


唔少人啱啱學虛數嘅時候,或者都會問數學家點解咁無聊,「發明」埋啲「犯規」、數唔到、「唔存在」嘅嘢。哩啲質疑其實好大程度係因為啲人唔太了解數學哩門學科嘅發展同真締。數學雖然係講邏輯、非常著重一致性嘅語言、文學,但數學家唔係耶撚或者某城市崇拜法律、淨係講守法嘅「法治撚」,唔會「一本通書睇到老」。佢哋係敢於挑戰自己定下嘅規矩同框框,數學嘅公理喺會與時並進,理論系統嘅定義係可以根據情況同需要跟住改變或拓展嘅。就好似喺古時未出現貨幣前,數字嘅定義淨係包括屬自然數(natural number)嘅正整數,負數甚至係0當時一樣被認為係「唔存在」同「犯規」。數學上改變或拓展定義唔等同政府官員嘅「搬龍門」,為改而改,咁樣做嘅目的係為咗避免矛盾、豐富理論系統同解釋更多嘢,就好似友blog某真·數學家所講咁[4]:

「很多時候,數學上的定義不是為定而定。它們是由數學家精心思考,為保留人類最基本的直覺而誕生。」


虛數有乜用?(What is imaginary number useful for?)

(Credits: xkcd #849,  https://www.explainxkcd.com/wiki/index.php/849:_Complex_Conjugate)

咁學虛數有乜用?除左中學或大學考試之外,平時生活又「用唔到」,正如最近某某專欄作家喺《南華早報》質疑數學嘅用處,認為中小學應該學番多啲「有用」嘅數學先啱[8]…對於哩啲膚淺嘅評論同問題,小弟淨係想回下面嘅一段說話(曲):

「中學教嘅數學(仲有物理)𡁵係冇用啦!最有用嘅「數學」𡁵係學點樣用天文學字1萬億換一堆唔值錢嘅泥沙去填海啦!另外讀書根本係晒時間,要搵錢同生活𡁵係學黃子華話齋:『如果將幼稚園到中學及大學學費用來炒樓「利疊利」,別人大學畢業時,無讀過書的孩子已經可以退休了』」

雖然虛數冇辦法變成「實數」,幫唔到你換1萬億番嚟填海,但佢嘅應用其實非常廣泛。虛數由發展最初純粹用嚟解多次元方程,去到今時今日衍生出複變分析(complex analysis)等嘅數學理論,物理學嘅流體力學、電磁學甚至量子力學(簡單有關虛數喺量子力學嘅應用可以睇[6]),工程學嘅信號處理、控制理論(control theory)等等好多範疇其實背後全部都涉及到用虛數運算。

(Credits: Bruce Silton, MathCreativity.com [7])

就算你只係一個中學雞,識得好好運用複數或虛數對考試絕對有幫助。簡單例子就好似初中你接觸到一系列嘅三角恒等式其實全部都可以用虛數好快同簡單咁推導出嚟(詳細講解可以睇[5]),所以識得虛數絕對可以幫你記少好多公式同避免出錯㗎!


今次講到哩度,下次再講。最後送上下面嘅短片回應一下最近某姓賀瘋狂「科學家」團隊嗰個研究同盲目支持佢嘅科技崇拜狂熱者。


延伸閱讀:

[1] 《[有趣數學系列] 究竟乜嘢係e?(What is e?)》https://godfreyleungcosmo.wordpress.com/2017/09/18/有趣數學系列-究竟乜嘢係e?what-is-e/?what-is-e/

[2] Descartes, René (1954) [1637], La Géométrie | The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition, Dover Publications, ISBN 0-486-60068-8, retrieved 20 April 2011

[3] 《文藝復興時代的數學與禮物交換》,英家銘著 (收錄於洪萬生等著, 《當數學遇見文化》)

http://yingswords.blogspot.com/2013/11/blog-post.html

[4] 《看似「違反直覺」的數學定義正是為了「保留直覺」》,Joanna Ko著 https://medium.com/@JoannaKo/看似-違反直覺-的數學定義正是為了-保留直覺-9b6bcd23f0e0

[5] 《Trig identities from complex exponentials》by the ryg blog (英文)

https://fgiesen.wordpress.com/2013/05/13/trig-identities-from-complex/

[6] 《Imaginary Numbers are Real》by Matthew Francis (英文)

[7] http://mathcreativity.com/imaginary-and-complex-numbers-defined/

[8] 傳送門: https://www.facebook.com/sunkwokastronomer/photos/a.157483344461331/980642248812099/?type=3

[9] 《Top 5 facts about Imaginary Math》by Ethan Siegel, https://medium.com/starts-with-a-bang/top-5-facts-about-imaginary-math-737e4b53b57d

[10] 《虛幻乎? 真實乎? —談虛數的幻與真》,高英哲撰文

https://case.ntu.edu.tw/scisalon/math/imaginary-number/

[11] 《虛數的起源》,蘇俊鴻著

http://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=15162

[12] 《Complex Numbers are Awesome》by Numberphile

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