[有趣數學系列] 究竟乜嘢係e?(What is e?)

(credit: geeky T-shirt design by Tostadora)

e 係乜嘢?咪係英文字母入面第五個囉!:O) 都啱嘅,不過小弟今日想講嘅係另外一種「文科」—數學入面嗰「字母」e,又叫歐拉常數 Euler’s number* : )
*以「神人」瑞士數學兼物理學家里昂哈特.歐拉(Leonhard Euler)命名嘅數字同理論其實仲有好多好多,請唔好搞亂e同另一個「字母」歐拉-馬斯卓朗尼#常數 γ (Euler-Mascheroni constant)
#唔係踢波個馬斯卓蘭奴 [sosad]
e呢個「數學字母」大家高中讀數或者見過 (?_? 香港而家DSE 好似只有額外加修課程先有讀,喺必修課程之外,唔同以前理科班CE/A-level屬接近必修課程。真係唔知而家仲有幾多學生會讀…),但除左知道佢係一個唔循環、無限長、寫唔盡,數值大概為2.7182…嘅小數外,大家對e呢個無理數又有幾多認識同了解呢?π 大家就知係圓周率,同計圓形嘅圓周、面積等有關,咁e呢?點解要無端端「發明」一個「字母」嚟代表呢個無理數?下面小弟呢個「偽.數學家」會嘗試解答吓呢啲問題 [slick]

歐拉常數嘅「生平」(A brief history of e)

喺開始講乜嘢係e同佢嘅應用前,小弟想先介紹吓歐拉常數嘅「生平」[slick] 歷史上第一次「提到」e呢個常數嘅其實係另一位數學家約翰‧拿皮爾(John Napier)。佢喺1618年出版關於對數(logarithm) 嘅數學著作入面一個附錄中有個表寫咗一堆數佢地自然對數(natural logarithm)嘅值。點解要括住「提到」?因為佢其實冇明確指出e呢個數同對數嘅base係乜,而且喺嗰時啲人對對數嘅概念同而家好唔同。雖然之後e喺對數相關研究文獻中都有被間中應用同「提到」,但真正發現e呢個數嘅公認係瑞士數學家雅各布·伯奴利(Jacob Bernoulli)。佢喺1683年去銀行時無意中因為嘗試計算自己户口有幾多錢時發現嘅 (去銀行嗰part小弟9up作出嚟 =p)。歐拉常數e係同極限和無限有關,數學上定義係下面公式

IMG_0199

後嚟數學家歐拉做咗唔少同呢個無理常數有關嘅研究,包括搵出同證明呢個無理常數嘅冪級數(power series)係咩,用呢個無理常數去表達虛數(imaginary number) 等,同時間佢為左方便書寫同通訊開始用字母e去代表呢個無理常數。由嗰時開始用e代表呢個數逐漸成為標準同潮流,亦因為咁e呢個數後嚟被命名為歐拉常數 (雖然後人好似唔多重視同留意歐拉嘅事蹟同貢獻,仲攞佢嚟講笑,好似係,見下圖 XD)

(credit: SMBC comics)

好啦,講番數學,e呢個數其實幾特別,同其他數學「字母」π或者黃金比例φ (golden ratio)唔同,佢本身定義上係同幾何形狀冇關。e定義上係同變化率(rate of change)有關,而且佢其實起源於一個同日常生活息息相關嘅經典經濟學問題 [slick]

歐拉常數有乜用?(What is e useful for?)

相信大家小學、初中應該都學過咩嘢係利息,尤其係複利率 (compound interest)。複利率呢種計息方法就係指除左本身本金外,本金所衍生出嚟嘅利息一樣會計息,「利疊利」就好似滾雪球,電影《食神》發達大計「上市集資,然後分拆公司再上市再集資」咁。假設銀行年利率係100% (小弟都想有:p),你存入一蚊本金,咁喺單利息嘅情況下一年之後你會得到嘅錢包括埋本金就係2蚊;但喺複利率計息下,如果計息期拆做半年,而利率改為50%,咁你最後得到嘅錢就會係 (1+0.5)^2=2.25。

講咗咁耐,咁究竟e同複利率有乜關係呢?聰明的「x登仔」相信可能由e嘅數學定義已經睇到出嚟 [slick] 點解e又會同複利率有關?試想像複利率中嘅計息期越縮越短,例如由一年減到一個月,一日甚至無限細,但收息年期不變,咁你最終得到嘅利息有幾多?無限大?
唔啱,呢個問題答案其實就係e。雖然計息期無限細代表你收息次數有無限咁多次,但同一時間每次計息時嘅利率都會變得無限細。兩者某程度上會抵消,所以雖然計息期不斷分拆縮短會增加年期完結後最終嘅利息收入,但增幅係有極限,而呢個極限就係e,好似下圖咁

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詳細討論同講解可以睇下面短片(英文)

 

歐拉常數係數學入面其中一個最重要嘅常數。除左計複利息,e喺數學上好多範疇好似統計學、微積分都好重要,而且佢仲可以用嚟表達虛數,例如數學上公認其中一條最靚嘅公式—歐拉恆等式 [slick]

(credit: CreativeDaffodil)

而喺物理學或者生活上好似放射性位元素佢一分鐘內衰變嘅頻率、半小時內有幾多傷者病人入急症室,甚至係一個城市人均收入呢類統計學例子同圓周運動等嘅背後理論都會用到e。所以e係好有用同無處不在㗎!

最後送首greeky嘅「歐拉之歌」畀大家作結 [bye]

https://www.youtube.com/watch?v=5BF3MHqsSvc

今次講住咁多,下次再談。

 

引伸延讀︰

[1] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html  (歐拉常數歷史,英文)

[2] https://www.youtube.com/watch?v=R0oUeLQIbIk

 

 

 

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